視頻標(biāo)簽：勾股定理的應(yīng)用,最短距離問題

所屬欄目：初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：數(shù)學(xué)八年級下北師大新課標(biāo)第一章第二節(jié)《勾股定理的應(yīng)用-最短距離問題》

教學(xué)設(shè)計、課堂實(shí)錄及教案：數(shù)學(xué)八年級下北師大新課標(biāo)第一章第二節(jié)《勾股定理的
應(yīng)用-最短距離問題》教學(xué)設(shè)計 

初中數(shù)學(xué)北師大版八年級上冊1.2勾股定理的
應(yīng)用最短距離問題
 
數(shù)學(xué)八年級下北師大新課標(biāo)第一章第二節(jié)《勾股定理的
應(yīng)用-最短距離問題》教學(xué)設(shè)計 

內(nèi)容和內(nèi)容解析： 
本節(jié)是義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)北師大版教科書八年級（上）第一章《勾股定理》第三節(jié)．具體內(nèi)容是運(yùn)用勾股定理解決簡單的立體圖形上的最短距離問題，進(jìn)一步發(fā)展應(yīng)用意識。本節(jié)課是七年級圖形的展開與折疊知識的延續(xù)，需要把立體圖形展開成平面圖形后，利用兩點(diǎn)之間線段最短在平面上找到最短距離，并運(yùn)用勾股定理求出最短距離。同時本節(jié)課從圓柱（側(cè)面）中來又回到圓柱（內(nèi)部）中去，最后也為九年級要學(xué)習(xí)的視圖與投影埋下伏筆。 目標(biāo)和目標(biāo)解析： 
本節(jié)課的重點(diǎn)是利用勾股定理解決立體圖形上的最短距離問題，難點(diǎn)是如何尋找和計算最短距離。設(shè)計“螞蟻怎樣走最近？”這個有趣的實(shí)際情景，讓學(xué)生了解實(shí)際問題可以轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)源于生活，又應(yīng)用于生活；在經(jīng)歷尋找和計算“最短距離”的過程中，讓學(xué)生理解，為什么要把立體圖形展開成平面圖形，使學(xué)生逐漸形成思維上的轉(zhuǎn)化思想，進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值；學(xué)生要探究并掌握立體圖形轉(zhuǎn)化成平面圖形后，最短距離的尋找方法和利用勾股定理的計算方法，這也使學(xué)生積累利用數(shù)學(xué)知識解決日常生活中實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)和方法，逐步形成積極參與數(shù)學(xué)活動的意識。 
 
教學(xué)問題診斷分析： 
學(xué)情分析：學(xué)生在七年級已學(xué)習(xí)過圖形的展開與折疊，并了解兩點(diǎn)
 
                    
             
                    
                            之間線段最短，有一定基礎(chǔ)。本節(jié)課要求學(xué)生在實(shí)際問題中自己尋找并計算最短距離，而八年級學(xué)生審題能力，審題方法，數(shù)學(xué)思維習(xí)慣已逐漸養(yǎng)成，但解決實(shí)際問題的能力仍需培養(yǎng)； 
內(nèi)容預(yù)設(shè)：一，本節(jié)課學(xué)生可能遇到的第一個問題，在尋找“最短距離”的過程中，在展開后的平面圖形上不能準(zhǔn)確找到螞蟻或食物所在的“點(diǎn)”，而找不準(zhǔn)“關(guān)鍵點(diǎn)”的原因：缺乏空間想象能力；懶于動手操作實(shí)踐；沒能完全感受到立體圖形展成平面圖形帶來的好處；習(xí)慣養(yǎng)成問題（審題意識，審題方法）。二，極個別學(xué)生在計算最短距離時出問題，究其原因：缺乏利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力；對勾股定理的掌握不夠扎實(shí)；缺乏由點(diǎn)（螞蟻和食物）到線（最短距離）再到面（直角三角形）的意識。三，在探究長方體表面的最短距離問題時，展開方式“找不全”，容易遺漏。究其原因：沒有真正理解展開的原因，展開后的好處；考慮問題不夠全面，急于求成； 教學(xué)支持條件分析： 
根據(jù)教學(xué)問題的診斷，將螞蟻的移動路線；食物所在的“點(diǎn)”；由點(diǎn)到線生成的最短距離；以及最短距離所在的面的生成都利用多媒體演示，直觀，生動，并將練習(xí)題用多媒體呈現(xiàn)，提高課堂效率 
 
教學(xué)過程設(shè)計：  
教學(xué)環(huán)節(jié) 
教師活動 學(xué)生活動 
設(shè)計意圖 
激情導(dǎo)入 激情導(dǎo)入
（螞蟻在圓柱體上爬行） 
1.引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)圓柱體的展開圖
2.演示動畫引出3.課題板書：勾股
學(xué)生回顧圓柱體的展開圖 
1.       幫助學(xué)生溫故知新；2.通過視覺激活學(xué)生思維，生成問
 
                    
             
                    
                               
分析解決問題情境一，尋找并計算最短距離 
1. 黑板畫圓柱體及其側(cè)面展開圖； 2. 提問：在展開圖上螞蟻和食物這兩個“關(guān)鍵點(diǎn)”應(yīng)標(biāo)在哪里？（教師可借助多媒體或教具引導(dǎo)學(xué)生尋找關(guān)鍵點(diǎn)）；最短距離怎么體現(xiàn)？怎樣計算最短距離？ 3. 多媒體演示，（給出圓柱體的高與底面半徑） 
思考并作答，在計算最短距離時，一名學(xué)生分析思
路，指明圓柱體上的數(shù)量和展開圖上的數(shù)量之間一一對應(yīng)關(guān)系，以及如何利用勾股定理進(jìn)行計算 
1.教師黑板畫圖，為學(xué)生在黑板上板書變式訓(xùn)練一做準(zhǔn)備；2.通過先尋找“關(guān)鍵點(diǎn)”，再找到“最短
距離”，最終在直角三角形內(nèi)利用勾股計算最短距離這一過程，使學(xué)生再次領(lǐng)悟任何一個幾何圖形都是由基本元素“點(diǎn)”，“線”，“面”構(gòu)成，回歸幾何的本真！  
 變式訓(xùn)練一 多媒體演示（食物所在點(diǎn)B向下移動） 
學(xué)生觀察思考，一名學(xué)生黑板板書 該訓(xùn)練是問題情境
一的變式，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的多樣性和靈活性，
直接檢驗(yàn)學(xué)生是否已經(jīng)掌握剛才所學(xué)知識 
     
 
                    
             
                    
                            變式訓(xùn)練二 多媒體演示（圓柱體上從A到B繞行一圈，A點(diǎn)和B點(diǎn)在圓柱同側(cè)） 
1.學(xué)生觀察思考，一名學(xué)生分析思路2.總結(jié)立體圖形中計算最短距離三步曲：
“展”（立體展平面）“找”（找最短距離“算”（算最短距離） 
1.該訓(xùn)練是問題情境
一的再次變式，引導(dǎo)學(xué)生體會正確尋找“關(guān)鍵點(diǎn)”這個最基本幾何元素的重要性，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生空間想象力2.培養(yǎng)
學(xué)生歸納總結(jié)的能力。  
問題情境2：探究長方體表面的最短距離問題 
1.多媒體演示，教師在黑板畫圖 
2.提問：長方體有幾個面組成？長方體怎么展開？至少需要展開幾個面？ 3.教師在黑板上標(biāo)出六個面 4.教師用教具演示展開過程并畫出第一種展開方
式，標(biāo)出關(guān)鍵點(diǎn)和1.審題 
2.學(xué)生回答第一種展開方式 3.小組合
作，交流討論其它展開方式，并上黑板展示交流結(jié)果 
4.在教師引
導(dǎo)下，學(xué)生對六種展開1.本環(huán)節(jié)在圓柱體的基礎(chǔ)上提升難度，變?yōu)殚L方體，引導(dǎo)學(xué)生由淺入深，由圓柱體側(cè)面展開一個面上的最短距離，到長方
體展開兩個面才能
找到最短距離；2.教師利用多媒體，動態(tài)展示第一個展開圖，起到示范作用，使學(xué)生上黑板有的放矢；3.引導(dǎo)學(xué)生理解有六
種展開方式的原因
（源于長，寬，高的
 
                    
             
                    
                            最短距離 5.為什么長方體有六種展開方式？（長，寬，高的組合），為什么排除后只有三種？（重復(fù)） 6.多媒體展示三種展開方式的計算結(jié)果 
方式分析排除，最終歸納出三種方式 
5.計算比較
得出最短距離 
組合）4.通過計算比較得出最短距離。本環(huán)節(jié)很好的滲透了分類討論思想。 
 
變式練習(xí) 
1. 多媒體演示 2. 提問：如何最快找出長方體
上最短距離？ 1.審題，思
考，作答（一名學(xué)生黑板板書）2.在
教師引導(dǎo)下發(fā)現(xiàn)最快找到最短距離的方式（當(dāng)組合成的直角邊最小時，所求距離最短） 
本環(huán)節(jié)是對問題情
境二的鞏固和提高，同時引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)
解決問題的最佳方
案。  拓展延伸 1.多媒體演示（圓柱體內(nèi)的最短距離問題） 2.提問：該圓柱需
1.審題，思考，回答（該圓柱不需要展開）2.小
本題是本節(jié)課的拓
展延伸，由前面兩個情境中立體圖形的“表面”最短距離問
 
                    
             
                    
                            要展開嗎？ 3.教師引導(dǎo) 
組討論3.學(xué)生分析思路4.引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注并總結(jié)立體圖形
“表面”的最短距離問題才需要展開，而“內(nèi)部”的問題不需要展開 
題轉(zhuǎn)變成為立體圖形“內(nèi)部”的最短距離問題，這也為九年級的視圖學(xué)習(xí)埋下伏筆。同時，該環(huán)節(jié)
也使整節(jié)課從圓柱中來又回圓柱中去，首尾呼應(yīng)，畫上了圓滿的句號。  
目標(biāo)檢測設(shè)計： 
1.如圖,一圓柱高8cm,底面半徑為

6
cm，一只螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B處吃
食,要爬行的最短路程是____________cm. 
 
設(shè)計目的：本題檢測學(xué)生對基礎(chǔ)圖形的掌握 
 
    
2.如圖：是一圓柱玻璃杯，從內(nèi)部測得底面半徑為6cm,高為16cm，現(xiàn)有一根長為22cm的吸管任意放入杯中，則吸管露在杯口外的長度最少為     cm 
 
設(shè)計目的：本題針對本節(jié)課的拓展延伸，檢驗(yàn)學(xué)生是否掌握立體圖形           內(nèi)部的最短距離問題，也為以后要學(xué)習(xí)的視圖打基礎(chǔ)。

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