視頻標簽：平行線的判定

所屬欄目：初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：初中數(shù)學(xué)北師大版八年級上冊7.3平行線的判定-內(nèi)蒙

教學(xué)設(shè)計、課堂實錄及教案：初中數(shù)學(xué)北師大版八年級上冊7.3平行線的判定-內(nèi)蒙古 - 包頭

7.3平行線的判定 
一、學(xué)情分析 
    學(xué)生技能基礎(chǔ)：在學(xué)習(xí)本課之前，學(xué)生對平行線的判定已經(jīng)比較熟悉，也有了初步的邏輯推理能力，對簡單的證明步驟有較清楚的認識，這為今天的學(xué)習(xí)奠定了一個良好的基礎(chǔ)．      活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：在以往的幾何學(xué)習(xí)中，學(xué)生對動手操作、猜想、說理、討論等活動形式比較熟悉，本節(jié)課主要采取學(xué)生分組交流、討論等學(xué)習(xí)方式，學(xué)生已經(jīng)具備必要的基礎(chǔ)．   
二、教材分析 
上一節(jié)已經(jīng)明確了基本事實，本節(jié)以基本事實“同位角相等，兩直線平行”為基礎(chǔ)證明平行線的判定定理：“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”；“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”。在以前的幾何學(xué)習(xí)中，主要是針對幾何概念、運算以及幾何的初步證明（說理），在學(xué)生的頭腦中還沒有形成一個比較系統(tǒng)的幾何證明體系，本節(jié)課安排《平行線的判定》旨在讓學(xué)生從簡單的幾何證明入手，逐步形成一個初步的、比較清晰的證明思路，為此，教科書首先開門見山，引導(dǎo)學(xué)生回憶平行線的判定條件，要求學(xué)生利用基本事實證明其他的判定條件。 
三、教學(xué)目標： 
    1.熟練掌握平行線的判定公理及定理；     2.能對平行線的判定進行靈活運用，并把它們應(yīng)用于幾何證明中．通過經(jīng)歷探索平行線
的判定方法的過程，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力，逐步掌握規(guī)范的推理論證格式．     3.通過學(xué)生畫圖、討論、推理等活動，給學(xué)生滲透化歸思想和分類思想．  
四、 重點難點 
重點：利用“同位角相等，兩直線平行”證明判定定理：內(nèi)錯角相等兩直線平行； 
同旁內(nèi)角互補兩直線平行。 
難點：用數(shù)學(xué)語言表達幾何的推理過程。 
五、教學(xué)過程分析 
本節(jié)課的設(shè)計分為六個環(huán)節(jié)：復(fù)習(xí)回顧——探索平行線判定方法的證明——試一試——當堂檢測---學(xué)生反思與課堂小結(jié)． 
  
第一環(huán)節(jié)：復(fù)習(xí)回顧 活動內(nèi)容： 
回顧兩直線平行的判定方法 
師：前面我們探索過直線平行的條件．大家來想一想：兩條直線在什么情況下互相平行呢？ 生1：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線就叫做平行線． 
生2：兩條直線都和第三條直線垂直，則這兩條直線互相平行． 
生3：同位角相等兩直線平行；內(nèi)錯角相等兩直線平行；同旁內(nèi)角互補兩直線平行． 師：很好．這些判定方法都是我們經(jīng)過觀察、操作、推理、交流等活動得到的． 
上節(jié)課我們談到了要證實一個命題是真命題．除公理、定義外，其他真命題都需要通過推理的方法證實． 
 
                    
             
                    
                            我們知道：“在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線”是定義．“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行”是公理．那其他的三個真命題如何證實呢？這節(jié)課我們就來探討．   
第二環(huán)節(jié)：探索平行線判定方法的證明 活動內(nèi)容： 
①󰀀  證明：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行．    師：問題一：這道證明題屬于什么類型的證明題？ 生：這是一個文字證明題， 
師：問題2：我們?nèi)绾巫C明呢？  
 生： 需要先把命題的文 字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)的圖形語言和符號語言  師：問題3 上面命題的條件是什么，結(jié)論是什么？ 
生：條件：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等。結(jié)論：那么這兩條直線平行 師：問題4 上面命題轉(zhuǎn)化成什么樣的數(shù)學(xué)圖形語言？（學(xué)生思考） 
問題5 上面命題轉(zhuǎn)化成什么樣的數(shù)學(xué)符號語言？（學(xué)生思考）  生：（教師板書） 數(shù)學(xué)圖形語言：  
         
數(shù)學(xué)符號語言：已知：如圖，∠1和∠2是直線a、b被直線c截出的內(nèi)錯角，且∠1=∠2． 
求證：a∥b 
 
師：問題：現(xiàn)在要證明這兩條直線平行可用的主要依據(jù)是什么？ 
生：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行． 
師生分析：要證明直線a與b平行，可以想到應(yīng)用平行線的判定公理來證明．這時從圖中可以知道：∠2與∠3是同位角，所以只需證明∠2=∠3，則a與b即平行． 
因為從圖中可知∠1與∠3是一對對頂角，即∠1=∠3,因此由等量代換可以知道：∠2=∠3． 師：好．下面我們來書寫推理過程，大家口述，老師來書寫．（在書寫的同時說明：符號“∵”讀作“因為”，“∴”讀作“所以”） 
證明：∵∠1和∠3是直線a、直線c相交所得的對頂角 ∴∠1=∠3（對頂角相等） ∴∠1=∠2（已知） ∴∠1=∠3（等量代換） 
∴a∥b（同位角相等，兩直線平行） 
這樣我們經(jīng)過推理的過程證明了一個命題是真命題，我們把這個真命題稱為：直線平行的判定定理．當然我們也可以用∠4來證明。 
這一定理可簡單地寫成：內(nèi)錯角相等，兩直線平行． 
 
                    
             
                    
                            注意： 
（1）已給的公理，定義和已經(jīng)證明的定理以后都可以作為依據(jù)．用來證明新定理． 
（2）證明一個真命題的方法,步驟,書寫格式以及注意事項.證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能“想當然”．這些根據(jù)，可以是已知條件，也可以是定義、公理，已經(jīng)學(xué)過的定理．在初學(xué)證明時，要求把根據(jù)寫在每一步推理后面的括號內(nèi)． 議一議  
師：小明用下面的方法作出了平行線，你認為他的作法對嗎？為什么？（見相關(guān)動畫） 
  
生：我認為他的作法對．他的作法可用上圖來表示：∠CFE=45°,∠BEF=45°．因為∠BEF= CFE，根據(jù)剛剛得的判定定理可知：CD∥AB． 
  
師：很好．從圖中可知：∠CFE與∠FEB是內(nèi)錯角．因此可知：“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”
下面我們來用規(guī)范的語言書寫這個定理． 
∵∠1=∠2  ∴a∥b  
師：下面我們來證明另外一個命題 : 兩條直線被第三條直線所截,如果同旁內(nèi)角         互補,那么這兩條直線平行. 根據(jù)第一個命題的證明過程及方法同學(xué)們自己來完成！ 
學(xué)生的做法：數(shù)學(xué)圖形語言：           
數(shù)學(xué)符號語言：已知：∠1和∠2是直線a、b被直線c截出的同旁內(nèi)角，且∠1與∠2互補， 
求證：a∥b．  
方法一：證明：∵∠1與∠2互補（已知）   
 ∴∠1+∠2=180°（互補定義） ∴∠1=180°－∠2（等式的性質(zhì)） ∵∠3+∠2=180°（平角定義） ∴∠3=180°－∠2（等式的性質(zhì)） ∴∠1=∠3（等量代換） 
 
                    
             
                    
                            ∴a∥b（同位角相等，兩直線平行）．                  
方法二：證明：∵∠1與∠2互補（已知）               
 ∴∠1+∠2=180°（互補定義）  ∵ ∠2+∠3=180°（平角定義） ∴∠1=∠3（同角的補角相等）   
∴a∥b（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行） 
這樣我們就又得到了直線平行的另一個判定定理：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行． 
下面我們來用規(guī)范的語言書寫這個定理
 
∵∠1+∠2=1800
.  ∴a∥b  
歸納總結(jié) 
問題：文字證明題的基本步驟是什么？ 1  弄清命題的題設(shè)和結(jié)論。 
2  根據(jù)題意畫出相應(yīng)的幾何圖形， 并在圖上標出必要的字母或符號 3  根據(jù)題設(shè)和結(jié)論結(jié)合圖形寫出已知，求證。 4  分析證明思路，寫出證明過程。  
第三環(huán)節(jié)：試一試 
③ 借助“同位角相等，兩直線平行”這一公理，請你試著證明這個結(jié)論：如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線平行 
生1：已知，如圖，直線a⊥c,b⊥c．求證：a∥b． 
  
證明：∵a⊥c,b⊥c（已知） 
∴∠1=90°∠2=90°（垂直的定義） ∴∠1=∠2（等量代換） 
∴b∥a（同位角相等，兩直線平行） 
生2：由此可以得到：“如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線平行 ”的結(jié)論．以后就可以用了！ 
師：同學(xué)們討論得真棒．下面我們通過練習(xí)來熟悉掌握直線平行的判定定理． 第四環(huán)節(jié)： 當堂檢測： 活動內(nèi)容：學(xué)生完成小卷 

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