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視頻標簽：二次函數,幾何圖形綜合題
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：人教版初中數學九年級上冊《二次函數與幾何圖形綜合題》建設
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人教版初中數學九年級上冊《二次函數與幾何圖形綜合題》建設兵團
教材分析
二次函數的圖像和性質及幾何最值問題屢屢出現在中考試卷上，此類問題雖然只涉及平面幾何中最基本的知識，但試題常以各種幾何圖形或平面直角坐標系為載體，與其他知識的綜合形成背景新穎、創意獨特的一類問題，考察學生在動點變化的過程中探究幾何元素之間的位置關系與數量關系的能力，體現課程對學生幾何探究、推理能力的要求，本節課是在學習一次函數與幾何圖形的綜合題后，設計學習有關二次函數與幾何圖形的綜合題，有利于提高學生的幾何探究、推理和解決問題的能力。 學情分析
學生對于二次函數的圖像和性質，三角形、平行四邊形的性質掌握得很好，但對于這些綜合題解起來有一定難度，這部分題往往作為壓軸大題，大部分學生存在畏懼與抗拒心理，造成失分較多，對學生來說：一方面很多題目難以找到較好的切入點；另一方面題目答案不止一個，考慮會不夠全面；第三這類題目計算量較大，極易計算誤。因此對此類問題專題講解，有助于提升學生的自信，提高壓軸題得分率。 教學目標
1、通過復習進一步求拋物線與X軸、Y軸的交點，多種方法求對稱軸。
2、由最短距離問題引出一動點，設計出三角形周長最短問題，使學生克服動點問題的畏懼心理，掌握動點問題的實質。
3、經歷借助尺規作圖探究等腰三角形三邊關系、直角三角形角的情況，使學生明確解題的關鍵是依據解題思路全面分析邊的情
況，找出等量關系，并能清楚地表達出解題思路，嘗試從不同角度尋求解決問題的方法。
4、利用平行四邊形的性質以及動點與已知點，構造平行四邊形，培養學生從一條線段為邊或對角線作為切入點，全面解決問題、不遺漏的好習慣，為以后構造特殊的平行四邊形奠定基礎。
5、培養學生在思考的基礎上，敢于發表見解，并尊重和理解他人觀點的能力。
教學重、難點
教學重點：掌握綜合題形成過程和思維方法。 教學難點：探究綜合題中不同問題的解決方法，形成解題思路，構建模型。 學法指導
針對學生情況在教學中 面向全體，發揮學生主體性，引導學生
積極觀察問題、分析問題，激發學生的求知欲和學習積極性，指導學生培養積極思維、主動獲取知識的良好學習習慣，并逐步提高學生提出問題、解決問題的創新探索能力。 教學策略
1、教師啟發引導探討式學習。
2、問題串設計：運用有序的問題串有層次地呈現問題，組織教學內容。
3、循序漸進使用激勵的語言建立學生自信。
教學過程 環節一：
例：如圖已知拋物線 y=x2-2x-3 與x軸交于A,C兩點,與 y 軸交于 B 點，直線 l 為它的對稱軸。
（1）求點A, B, C的坐標及拋物線的對稱軸；
分析：要求拋物線與坐標軸的交點坐標，可分別令其解析式中x=0或y=0，求得相應的y值或x值即可確定。其對稱軸為過與x軸兩交點形成的線段的中點且垂直于x軸的直線；或利用頂點坐標公式以及配方法求出其對稱軸。 解：對于拋物線y=x2-2x-3，
令y=0，即0=x2-2x-3，解得x1=3，x2=-1
∴A（-1, 0），C（3, 0）
令x=0，即y=-3， ∴B（0，-3） ∵ y=x2-2x-3 =( x-1)2 -4 ∴拋物線的對稱軸是直線x=1 設計意圖：利用函數解析式求出特殊點 的坐標，讓學生 感到輕松，樹立 學好本節課的信 心，為解決后續 問題做準備。
環節二：
（2）若點F是直線 x=2上的一動點,當點 F 運動到何處時， △ ABF的周長最小？求出此時F的坐標；
分析：由AB長為定值，要使△ ABF的周長最小，即要使AF+BF最小。作點A關于直線x=2的對稱點H,則BH與直線x=2交點即為所求點F 。然后用待定系數法求出直線BH的解析式，將x=2代入即可求得點F的坐標
解：要使 △ ABF的周長最小，即AB+BF+AF最小 由（2）得AB=
為定值，∴只需BF+AF最小
∵點F在直線x=2上，
設點A(-1,0)關于直線x=2的對稱點為H，則H（5,0） 連接BH交直線x=2于一點，此點即為所求點F，此時△ABF的周長最小
設直線BH的解析式為y=kx+b， b=-3
將B(0,-3),H（5,0）代入得， 5k+b=0 解得，
k=
b=-3
∴直線解析式為 y = x-3,
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3
當x=2時，y = - ， ∴當點F運動到點（2，- ）時， △ ABF的周長最小。
設計意圖：探究三角形周長最小問題實質 上是求最短距離問題，通過復習兩點在直 線同側的最短距離利用軸對稱來解決，讓 學生體會題型在變，考點不變，看清問題 的實質是解決問題的關鍵。 環節三：
（3）在x軸上是否有一點 E，使得 △ABE為等腰三角形，若存在，求出點 E 的坐標，若不存在，請說明理由；
分析：題中只說明△ABE 為等腰三角形，未說明到底哪兩條邊相等，所以先設出點E的坐標，然后分AB=BE, AB=AE和BE=AE三種情況討論求解；
解：存在 . 設E（x，0），
∴AE2=(X+1)2， BE2=X2+9， AB2=12+32=10
①當AB=BE, 即AB2=BE2時， 10=X2+9 解得x1=1，
x2=-1（舍） ∴E（1, 0）
②當AB=AE, 即AB2=AE2時，10=(X+1)2 解得 x1= -1，x2= - -1，
∴E（ - 1 ，0）或E（ - - 1 ，0） ③當BE=AE, 即BE2＝ AE2時，X2+9 =(X+1)2，解得x=4，
∴E(4, 0)
綜上所述，存在符合條件的點E，點E的坐標為（1,0）或
（ -1
，0）或E（ - -1 ，0）或（4,0）。
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1010
設計意圖：通過對動點E的尋找，使學生明確解決問題的關
鍵是對等 腰三角形性質的熟練運用，以及正 確表達邊的長度從而列出等量關系 求解。 環節四：
（4）在拋物線對稱軸直線 l 上是否存在一點M，使得 △
ABM是直角三角形，若存在，就出點M的坐標，若不存在請說明理由；
分析：已知條件中只說明△ ABM是直角三角形，未說明哪個角為直角，需分情況討論。假設在拋物線的對稱軸上存在滿足條件的點M，設出點M的坐標 然后分∠BAM=90°,∠ABM=90° 和 ∠AMB=90 °情三種情況進行討論求解；
解：存在 由（2）可知AB2=10,
假設存在點M在對稱軸直線x=1上，使得 △ ABM是直角三角形，設M（1, m),
∴AM2 = 22+m2 = 4+m2, BM2 = 12+(m+3)2 = m2+6m+10 要使 △ ABM是直角三角形，則分以下三種情況討論： ①當∠BAM=90°時， AB2+AM2=BM2, 即10+4+m2 = m2+6m+10，
解得，m = 2/3 ∴M（1, 2/3）； ②當∠ABM=90°時， AB2+BM2=AM2, 即10+m2+6m+10 = 4+m2，
解得，m =- ∴M（1, - ）；③當∠AMB=90°時，BM2+AM2 = AB2, 即m2+6m+10+4+m2
= 10，解得， m1 = -2， m2 = -1 ∴M（1, -2）或M（1，-1）
綜上所述，存在符合條件的點M點的坐標為（1, ）或
（1, - ）或（1, -2）或（1，-1）
設計意圖：上題學生從邊切入開拓了解題方法與思路，此題從角切入豐富了解題經驗，也培養了學生尺規作圖解決問題的好習慣。 環節五：
（5）在平面內是否存在一點N，使得以點A,B,C,N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合條件的N點坐標；若不存在，請說明理由。
分析：要使以ABCN為頂點的四邊形是平行四邊形，需要分情況討論，分類討論AC是邊還是對角線兩種情況進行求解即可；
解：存在。N1(4,-3), N2(-4,-3）N3（2,3) 理由如下:分為兩種情況討論: ①當AC為邊時
∵以點A,B,C,N為頂點的四邊形是平行 四邊形，
∴AC ∥BN 且AC=BN，設N（n，-3）， 則lnl=4， 解得n1=4 n2=-4 ∴ N1(4, -3),N2(-4, -3） ②當AC為對角線時
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過點N3作N3Q ⊥x軸于點Q， 若四邊形ABCN3為平行四邊形， ∴ ∠BAO= ∠N3CQ, AB=CN3, ∴ △ ABO ≌ △ CN3Q, ∴N3Q=BO=3, CQ=AO=1, ∴OQ=CO-CQ=2 ∴N3（2,3)
綜上所述，存在符合條件的點N，點N坐標為N1(4,-3), N2(-4,-3），N3（2,3)
設計意圖：在平面直角坐標系中尋找一動點與已知點構造平行四邊形，讓學生見識了函數與幾何圖形結合形成綜合題的新高度，
小結
本課通過求拋物線與x軸y軸的三個交點以及對稱軸，引入動點問題，將二次函數與幾何圖形完美結合激發學生探究欲望，通過求兩點之間最短距離來解決三角形周長最小的問題，繼續引入由討論邊的關系來構造等腰三角形，討論角的情況構造直角三角形，直至升華至三定點與一動點構造平行四邊形，充分運用特殊三角形以及平行四邊形的性質來解決問題，體會到動點問題帶給我們拓展思維的樂趣，最后送給同學們一句話：數學題，始于你想，成于你做。只要你動筆，那些大腦中閃爍的智慧會使我們更快樂
視頻來源：優質課網 www.m.fsyixinda.com
