視頻標(biāo)簽：基本不等式

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視頻課題：高中數(shù)學(xué)必修五中第三章第四節(jié)基本不等式-珠海

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高中數(shù)學(xué)必修五中第三章第四節(jié)的基本不等式-珠海市實驗中學(xué)

《基本不等式》教學(xué)設(shè)計 
 
1. 教材內(nèi)容分析與學(xué)情分析 
本節(jié)課是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)》（人民教育出版社、課程教材研究所A版教材）必修5中第§3．4．1節(jié)．《高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》對于“基本不等式”的教學(xué)要求是探索并了解基本不等式的證明過程，會用基本不等式解決簡單的最值問題。新課標(biāo)相對于原來課程的最大變化是偏重于應(yīng)用基本不等式求最值,這既符合不等式知識的認識規(guī)律,也對實際的應(yīng)用有重要價值。 
本節(jié)課通過創(chuàng)設(shè)情境，展開數(shù)學(xué)知識的發(fā)生，發(fā)展過程，使學(xué)生能經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，通過兩個探究問題，層層遞進，使學(xué)生在問題中體會基本不等式的產(chǎn)生，體會從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題的過程。通過三個例題使學(xué)生從理解到掌握與應(yīng)用的轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。 
本節(jié)課的授課對象是高一年級智慧課堂創(chuàng)新班的學(xué)生，課前用ipad以導(dǎo)學(xué)案的形式,發(fā)送微課視頻給學(xué)生預(yù)習(xí).讓學(xué)生能夠有目的，有針對性的預(yù)習(xí)。在前面的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)基本掌握了一些常見的不等式及不等式的證明方法，本節(jié)課一定程度上是前面學(xué)習(xí)的運用。通過對這一節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生深切地體會到數(shù)形結(jié)合思想，體會基本不等式求最值在生活及生產(chǎn)實際中的廣泛應(yīng)用。也加強了數(shù)學(xué)聯(lián)系生活這一重要的數(shù)學(xué)觀。由于他們基礎(chǔ)扎實，思維活躍,有探索未知,追求知識的欲望,有時候缺乏勇于探究的實際行動.設(shè)置三個例題,層層深入,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。 
2. 教學(xué)目標(biāo) 
依據(jù)《新標(biāo)準(zhǔn)》對《不等式》學(xué)段的目標(biāo)要求和本班學(xué)生實際情況，確定如下目標(biāo)： (1)知識與能力目標(biāo)：通過兩個探究實例，引導(dǎo)學(xué)生從幾何圖形中獲得基本不等式，在不等式
的幾何背景中體會數(shù)形結(jié)合的思想。能運用基本不等式解決一些簡單問題，培養(yǎng)學(xué)生探究能力以及分析問題的能力。引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會運用基本不等式的三個限制條件在解決最值中的作用，提升解決問題的能力，體會方法與策略。 
(2)過程與方法目標(biāo)：在教師的引導(dǎo)下通過探究1，探究2來得到基本不等式，并能解決簡單
的最值問題。這是一個過程性目標(biāo)。通過例1引導(dǎo)學(xué)生嘗試用基本不等式解決簡單的最值問題，體會和與積的相互轉(zhuǎn)化，進一步通過例2，并用幾何畫板展示函數(shù)圖形，進一步深化數(shù)形結(jié)合的思想。結(jié)合例3完善對基本不等式結(jié)構(gòu)的理解，提升解決問題的能力。 
（3）情感與態(tài)度目標(biāo)：通過問題情境的設(shè)置，使學(xué)生認識到數(shù)學(xué)是從實際中來，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)
學(xué)的眼光看世界，通過數(shù)學(xué)思維認知世界，從而培養(yǎng)學(xué)生善于思考、勤于動手
 
                    
             
                    
                            2 
 
的良好品質(zhì)。 
3.教學(xué)重難點 
（1）教學(xué)重點：①從不同角度探索基本不等式，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式。②利用基本不等式求解實際問題中的最大值和最小值。③基本不等式成立時的三個限制條件（簡稱一正、二定、三相等）。 
（2）教學(xué)難點：①基本不等式成立時的三個限制條件。②當(dāng)不滿足限制條件時通過配湊，1的代換等技巧求不等式的最值問題。 
4.教學(xué)方法 
   教法分析： 
本節(jié)課采用啟發(fā)式的教學(xué)方法,以學(xué)生為主體，以基本不等式為主線，以現(xiàn)代信息技術(shù)多媒體課件、幾何畫板作為教學(xué)輔助手段，加深學(xué)生對基本不等式的理解。在教師的誘導(dǎo)和激勵下探索、分析和解決問題，總結(jié)規(guī)律，培養(yǎng)積極探索的科學(xué)精神。從而體現(xiàn)教師起到“導(dǎo)”的作用，達到學(xué)生“學(xué)”的目的。 
學(xué)法分析： 
合作學(xué)習(xí)：引導(dǎo)學(xué)生分組討論，合作交流，共同探討問題； 探究學(xué)習(xí)：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮主觀能動性，主動探索新知。 
5.教學(xué)資源 
為了能很好地展示幾何圖形,體會基本不等式的幾何背景,教學(xué)中需要有具體的圖形來幫助學(xué)生理解基本不等式的生成，感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，所以，借助于智慧課堂軟件ipad，借助于幾何畫板軟件來加強幾何直觀十分必要，這樣可以加深對基本不等式的理解，增強教學(xué)效果。[來源:Zxxk 
6.教學(xué)設(shè)計流程圖 
  
  [來源:Z§xx§k.Co
 
 [來源:學(xué)#科#網(wǎng)]
  
   
1．創(chuàng)設(shè)情境，幾何引入 
2．函數(shù)思想,得出結(jié)論 
3．幾何證明，相見益彰 
4．應(yīng)用舉例，鞏固提高 
5．歸納小結(jié)，反思提高 
6．布置作業(yè)，課后延拓 
 
                    
             
                    
                            3 
 
7. 教學(xué)環(huán)節(jié)與活動 
教學(xué)過程設(shè)計以問題為中心，以探究解決問題的方法為主線展開。這種安排強調(diào)過程，符合學(xué)生的認知規(guī)律，使數(shù)學(xué)教學(xué)過程成為學(xué)生對知識的再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過程。 
具體過程安排如下： 
（1）創(chuàng)設(shè)情景，提出問題； 
設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)教育必須基于學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”，現(xiàn)實情境問題是數(shù)學(xué)教學(xué)的平臺，數(shù)學(xué)教師的任務(wù)之一就是幫助學(xué)生構(gòu)造數(shù)學(xué)現(xiàn)實，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展他們的數(shù)學(xué)現(xiàn)實．基于此, 
向?qū)W生展示在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)。  
問題1、比較大正方形的面積與4個直角三角形的面積，你能找到怎樣的不等關(guān)系？ 利用圖中相關(guān)面積間存在的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合多媒體幾何畫板的演示，抽象出不等式abba222   
問題2、上式能否取到等號？什么時候取等號？ 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立 抽象歸納： 
結(jié)論1、一般地，對于任意實數(shù)a,b，有abba222，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立。 問題3、當(dāng)a>0,b>0時，在不等式abba222中，以a、b分別代替a、b，得到什么？什么時候取等號？ 
設(shè)計依據(jù)：類比是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要方法，此環(huán)節(jié)不僅讓學(xué)生理解了基本不等式不等式的來源，突破了重點，而且感受了其中的函數(shù)思想，為今后學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。     答案： ),(02

bab
aab 通過PPT課件，讓學(xué)生更直觀的抽象。 
問題4、探究2 如圖，AB是圓O的直徑，點C是AB上一點，aAC，bBC．過點C作垂直于AB的弦DE，連接BDAD,． 
①能否用a,b表示OD?       OD =                                     
②能否用a,b表示CD?       CD=              ③OD與CD的大小關(guān)系？ 
用幾何畫板演示，幫助學(xué)生理解等號取得的條件。 得到結(jié)論當(dāng)0,0ba時，2
b
aab
（當(dāng)且僅當(dāng)ba時，等號成立）。 （進一步加強數(shù)形結(jié)合的意識，提升思維的靈活性） （2）抽象歸納,得出結(jié)論 
D 
C A 
B 
E 
O 
                    
             
                    
                            4 
 
結(jié)論2、若0,0ba，則有2baab
，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，2
b
aab。 我們稱此不等式為基本不等式。 其中2
b
a稱為a,b的算術(shù)平均數(shù)，ab稱為a,b的幾何平均數(shù)。 
代數(shù)意義是幾何平均數(shù)小于等于算數(shù)平均數(shù)。 幾何意義是半弦長小于等于半徑長。 
此處體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法，多角度理解基本不等式。 
問題5、怎樣理解“當(dāng)且僅當(dāng)”？（學(xué)生小組討論，交流看法，師生總結(jié)） “當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立”的含義是： 
當(dāng)a=b時，取等號，即2
b
aabba
； 僅當(dāng)a=b時，取等號，即bab
aab
2
。 設(shè)計依據(jù)：課本是學(xué)生了解世界的窗口和工具，心理學(xué)研究表明：任何學(xué)習(xí)都是學(xué)習(xí)者自主建構(gòu)的過程.在這個過程中，離不開學(xué)習(xí)主體與文本之間的交互作用。有意義的接受學(xué)習(xí)是自主建構(gòu)，有意義的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)也是自主建構(gòu)。既沒有絕對的接受學(xué)習(xí)，也沒有絕對的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，總是兩者相互交替、有機結(jié)合.所以，課本必須成為學(xué)生賴以學(xué)會學(xué)習(xí)的文本.在教學(xué)中要讓學(xué)生學(xué)會認真看書、用心思考，真正學(xué)會讀“數(shù)學(xué)書”。 
給出基本不等式的變形公式為求最值做準(zhǔn)備  
 
（3）知識應(yīng)用 
公式應(yīng)用之一基礎(chǔ)訓(xùn)練：（最優(yōu)化問題） 
設(shè)計意圖：新穎有趣、簡單易懂、貼近生活的問題,不僅極大地增強學(xué)生的興趣，拓寬學(xué)生的
視野，更重要的是調(diào)動學(xué)生探究鉆研的興趣，引導(dǎo)學(xué)生加強對生活的關(guān)注，讓學(xué)生體會：數(shù)學(xué)就在我們身邊的生活中 
例1. ①用籬笆圍成一個面積為100m2的矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？②用一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形菜園的長和寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？ 
ab
baRba2,,2)
2
(,,baabRba
 
                    
             
                    
                            5 
 
學(xué)生分組討論、糾正、爭辯，合作交流。引導(dǎo)學(xué)生體會基本不等式的正用和逆用。 
（通過例1的講解，總結(jié)歸納利用基本不等式求最值問題的特征,實現(xiàn)積與和的轉(zhuǎn)化）[來源: 結(jié)論： 
基本不等式的限制條件簡記為：“一正、二定、三相等”。 對于Ryx,，[來源:Zxxk.Com] 
①若pxy（定值），則當(dāng)且僅當(dāng)ba時，yx有最小值p2； 
②若syx（定值），則當(dāng)且僅當(dāng)ba時，xy有最大值4
2s． 
（鼓勵學(xué)生自己探索推導(dǎo)，不但可使他們加深基本不等式的理解，還鍛煉了他們的思維，培養(yǎng)了勇于探索的精神。） 
結(jié)論： 
若兩正數(shù)的乘積為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)兩數(shù)相等時，它們的和有最小值； 若兩正數(shù)的和為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)兩數(shù)相等時，它們的乘積有最大值。  公式應(yīng)用之二鞏固訓(xùn)練： 
例2.求
)0(1
xx
xy的值域． 在運用基本不等式解題的基礎(chǔ)上，利用幾何畫板展示)0(1xx
xy的函數(shù)圖象，使學(xué)生再次感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想． 
公式應(yīng)用之三 能力提升： 
例3.①x>3,求
x
xxf
34)(的最小值； 
② 核心思想：湊積為定值。 （4）反思總結(jié)，整合新知 
通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有什么收獲？取得了哪些經(jīng)驗教訓(xùn)?還有哪些問題需要請教？ 
設(shè)計意圖：通過反思、歸納，培養(yǎng)概括能力；幫助學(xué)生總結(jié)經(jīng)驗教訓(xùn)，鞏固知識技能，提高認知水平。 
老師根據(jù)情況完善如下： 
基本不等式：若0,0ba，則有2baab
，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，2
b
aab。 .
1
1,12,的最小值求滿足已知正數(shù)y
xyxyx
                    
             
                    
                            6 
 
兩種思想：數(shù)形結(jié)合思想、歸納類比思想。 
三個注意：基本不等式求函數(shù)的最大(小)值是注意：“一正二定三相等”。 （5）課外拓展 
如圖，教室的墻壁上掛著一塊黑板，它的上、下邊緣分別在學(xué)生的水平視線上方a米和b米，問學(xué)生距離墻壁多遠時看黑板的視角最大？ （6）布置作業(yè) 基本作業(yè) 
   
拓展作業(yè) 
請同學(xué)們課外在網(wǎng)上查找基本不等式的其他幾何解釋嗎，整理并互相交流。 
8.教學(xué)評價 
通過這節(jié)課，引領(lǐng)學(xué)生多角度、多方位地認識基本不等式，在學(xué)生原有的認知基本上，充分展示基本不等式這一知識的發(fā)生、發(fā)展及再創(chuàng)造的過程。啟發(fā)思維，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。讓學(xué)生真正參與其中同時，以智慧課堂教學(xué)課件、幾何畫板作為教學(xué)輔助手段，賦予學(xué)生直觀感受。在教學(xué)過程中始終圍繞教學(xué)目標(biāo)進行評價，師生互動，在教學(xué)過程的不同環(huán)節(jié)中及時獲取教學(xué)反饋信息，以學(xué)生為主體，及時調(diào)節(jié)教學(xué)措施，完成教學(xué)目標(biāo)，從而達到較為理想的教學(xué)效果。 本節(jié)課的亮點在于學(xué)生對知識的自主構(gòu)建，重點放在基本不等式在求最值方面的應(yīng)用.應(yīng)用幾何畫板的軟件,幫助學(xué)生更好的理解基本不等式,層層遞進的設(shè)置兩個探究問題，多角度，透徹認識基本不等式，以利用基本不等式求最值問題為核心內(nèi)容，符合新課標(biāo)的精神。讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用，因授課班級學(xué)生基礎(chǔ)較好，設(shè)置三個難度層層遞進的例題，讓學(xué)生自己總結(jié)規(guī)律，得出結(jié)論，巧妙設(shè)計“陷阱”,讓學(xué)生自己往里跳，然后自己再從中爬出來，自己總結(jié)出基本不等式的三個重要的限制條件。 
但是在本節(jié)課中還是暴漏出一些的問題： 
對于最后的例3一些學(xué)生理解起來相對困難，當(dāng)基本不等式的限制條件不滿足時,如何配湊定值使得滿足條件是本節(jié)課的難點,難點的突破,效果有待提高.需要在后續(xù)教學(xué)中多次反思，不斷運用。在放手給學(xué)生自己去探索知識的過程中,如何能既引導(dǎo)學(xué)生,發(fā)揮學(xué)生的主動性又能控制好課堂的時間,提高課堂效率,在這方面有待提高。

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