視頻標簽：導數(shù)的幾何意義

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視頻課題：高中數(shù)學人教A版選修2-2第一章1.1.3導數(shù)的幾何意義-天津市省優(yōu)課

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高中數(shù)學人教A版選修2-2第一章1.1.3導數(shù)的幾何意義-天津市省優(yōu)課

導數(shù)的幾何意義
　　教學目的
　　1．使學生理解導數(shù)的幾何意義；并會用求導數(shù)的方法求切線的斜率和切線方程；利用導數(shù)求法線方程．
　　2．通過揭示割線與切線之間的內(nèi)在聯(lián)系對學生進行辯證唯物主義的教育．
　　教學重點
　　理解導數(shù)的幾何意義是本節(jié)的重點．
　　教學過程
　　一、復習提問
　　1．導數(shù)的定義是什么？求導數(shù)的三個步驟是什么？求函數(shù)y＝x²在x＝2處的導數(shù)．
　　2．怎樣定義曲線C在點P的切線？(即切線的定義)
　　在學生回答基礎上教師重點講評第2題，然后逐步引入導數(shù)的幾何意義．
　　如圖2－1，設曲線C是函數(shù)y=f(x)的圖象，點P(x₀，y₀)是曲線C上一點．點Q(x₀＋Δx，y₀＋Δy)是曲線C上與點P鄰近的任一點，作割線PQ，當點Q沿著曲線C無限地趨近于點P，割線PQ便無限地趨近于某一極限位置PT，我們就把極限位置上的直線PT，叫做曲線C在點P處的切線．

　　追問：怎樣確定曲線C在點P的切線呢？因為P是給定的，根據(jù)平面解析幾何中直線的點斜式方程的知識，只要求出切線的斜率就夠了．設割線PQ的傾斜角為
　　
　　
　　由上式可知：曲線f(x)在點(x₀，f(x₀))處的切線的斜率就是y＝f(x)在點x₀處的導數(shù)f'(x₀)．
　　二、新課
　　1．導數(shù)的幾何意義：
函數(shù)y＝f(x)在點x₀處的導數(shù)f'(x₀)的幾何意義，就是曲線y＝f(x)在點(x₀，f(x₀))處切線的斜率．

結論：根據(jù)導數(shù)的幾何意義，
      當某點處導數(shù)大于零時，說明在這點的附近曲線是上升的，即函數(shù)在這點附近是單調(diào)遞增；
      當某點處導數(shù)小于零時，說明在這點的附近曲線是下降的，即函數(shù)在這點附近是單調(diào)遞減；
　2．利用導數(shù)求曲線y＝f(x)在點(x₀，f(x₀))處的切線方程．
例2.（1）若曲線y=f(x)在點()處的切線方程為2x+y+1=0，則                           .
     
 
　　（2）求曲線在點M(1，2)處的切線方程．
　　
　　∴y'|_x=1=2×1=2．
　　∴點M(1，2)處的切線方程為y－2＝2(x－1)，即2x－y=0．
　　由上例可歸納出求切線方程的兩個步驟：
　　(1)先求出函數(shù)y＝f(x)在點x₀處的導數(shù)f'(x₀)．
　　(2)根據(jù)直線方程的點斜式，得切線方程為
y－y₀=f'(x₀)(x－x₀)．
 

　　
三、小結
　　1．導數(shù)的幾何意義．
2．切線的斜率。
3.利用導數(shù)求曲線y=f(x)在點(x₀，f(x₀))處的切線方程的步驟．
　　四、作業(yè)
1、課時作業(yè)
2、求曲線在點處的切線的斜率。
3、求曲線在點（-1,1）處的切線的方程。
教學反思
本節(jié)內(nèi)容是在學習了“變化率問題、導數(shù)的概念”等知識的基礎上，研究導數(shù)的幾何意義,由于新教材未設計極限,于是我盡量采用形象直觀的方式,讓學生通過動手作圖,自我感受整個逼近的過程,并用形象的幾何畫板及Flash展示動態(tài)的過程，讓學生更加深刻地體會導數(shù)的幾何意義及“以直代曲”的思想。
本節(jié)課主要圍繞著“利用函數(shù)圖象直觀理解導數(shù)的幾何意義”和“利用導數(shù)的幾何意義解釋實際問題”兩個教學重心展開。
先回憶導數(shù)的實際意義、數(shù)值意義，由數(shù)到形，自然引出從圖形的角度研究導數(shù)的幾何意義；然后，類比“平均變化率——瞬時變化率”的研究思路，運用逼近的思想定義了曲線上某點的切線，再引導學生從數(shù)形結合的角度思考，獲得導數(shù)的幾何意義——“導數(shù)是曲線上某點處切線的斜率”。
完成本節(jié)課第一階段的內(nèi)容學習后，教師點明，利用導數(shù)的幾何意義，在研究實際問題時，某點附近的曲線可以用過此點的切線近似代替，即“以直代曲”，從而達到“以簡單的對象刻畫復雜對象”的目的，并通過兩個例題的研究，讓學生從不同的角度完整地體驗導數(shù)與切線斜率的關系，并感受導數(shù)應用的廣泛性。
本節(jié)課注重以學生為主體,每一個知識、每一個發(fā)現(xiàn)，總設法由學生自己得出，課堂上給予學生充足的思考時間和空間，讓學生在動手操作、動筆演算等活動后，再組織討論，本教師只是在關鍵處加以引導。從學生的作業(yè)看來，效果較好。
     在例題講解時，注重審題（分析關鍵的詞句）和解題反思，感覺效果不錯！
但是，作為探究課，時間如果控制不好，易講不完，我就是例2來不及分析完，于是當作課外作業(yè)，所以時間要注意調(diào)配。
還有有些學生對如何畫出過該點的切線有點困難，此時，教師給予示范。
　　
 
 
 
 
 
導數(shù)的幾何意義教學設計及反思
 
 
 
 
 
 
 
蘆臺一中 史鈺超

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