視頻標簽：三棱錐,外接球問題

所屬欄目：高中數學優質課視頻

視頻課題：人教A版高中數學必修二第一章《三棱錐的外接球問題》河南省級優課

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三棱錐的外接球問題 
【教材分析】本節課是在高三學生復習完《球的表面積和體積公式》的基礎上展開的專題。由于高考對立體幾何中球的考察，多以球內切或外接于幾何體的形式出現，而三棱錐的外接球問題是一種常見題型。另外，轉化思想是數學中的一種重要思想，通過本節的學習，能使學生更好地體會轉化的思想方法，感受數學的精妙之處，從而豐富學生的理論體系，體會分析問題、解決問題的過程。 
【教學分析】球是高考出題的熱點之一，在近幾年的高考題中都有出現。球經常和三棱錐相結合出題，以選擇題或填空題的形式出現。 
【學情分析】一部分學生只能解決正四面體的外接球問題，稍復雜一點就不會了。 
【教學目標】1、知識與技能：學生能夠利用直接法、構造法和尋找球心位置法解決三棱錐的外接球問題。2、過程與方法：學生建立空間感，體會轉化的數學思想方法。3、情感、態度、價值觀：完善學生知識體系，增進學生對數學的信心和興趣。 
【重點】學會轉化的思想方法。 
【難點】掌握求三棱錐外接球半徑的三種方法。 
教學過程分析 
教學內容與問題設置 
設計意圖 知識梳理 1.球的定義  
2.球的表面積和體積公式  3.求多面體外接球半徑的方法  4.簡單多面體外接球相關結論  
問：球的表面積公式和體積公式，求多面體外接球半徑的三種方法。 
板書：題目以及求多面體外接球半徑的三種方法  
     
知識準備 
探究提問 
1、長方體或正方體的體對角線和體心與它的外接球有什么關系？ 
（體對角線就是它的外接球直徑，體心和球心重合） 2、邊長為2的正方體的外接球的表面積為多少？ 
（外接球的直徑為322222222r，所以，表面
積為1242rS） 
3、假如一個正方體的8個頂點都在同一個球的球面上，那么任意選出4個頂點，這4個頂點還在該球的球面上嗎？ (在) 
   
從學生熟悉的幾何體外接球半徑開始復習，為進一步復習三棱錐外接球問題做準
備 
                    
             
                    
                            4、棱長為 1的正四面體的外接球的表面積為多少？ 
（正四面體補形為正方體，正方體邊長為
2
2
，正方體外接球的半徑為4
6
r，所以表面積為2342rS） 
課堂探究 
類型一：對棱相等的三棱錐 
例1.已知四面體ABCD滿足6CDAB，
2BDBCADAC，則四面體ABCD的外接球的表面積是__________. 
 
問：解決對棱相等三棱錐外接球問題的方法是什么？你是如何解決這道題的？你的答案是什么？ 學生回答后，教師展示解題過程如下： 
解析：設長方體的長寬高分別為zyx、、,那么        
類型二：側棱垂直底面的三棱錐 
例2.已知三棱錐ABCS的所有頂點都在球O的球面上,
ABCSA平面,32SA,2BC,30BAC,求
球O的半徑. 
 
問:你是如何解決側棱垂直底面的三棱錐問題呢？這道題你有幾種方法解決呢？你的的答案是什么？ 學生從不同角度解決這類問題，教師補充 (至少共同探究三種方法解決這類題型)  
類型三：有公共斜邊的兩個直角三角形組成的三棱錐 
              
學生回顧求三棱錐外接球半徑的三種方法，思考如何用這三種方法解決五類三棱錐外接球問題 

747331233164422222222
22222
RSzyxRzyxzyyxzx
                    
             
                    
                            例3.(2017年全國卷Ｉ)已知三棱錐ABCS的所有頂點都
在球O的球面上，SC是球O的直徑，若
SCBSCA平面平面,ACSA,BCSB,三棱錐
ABCS的體積為9，則球O的表面積為_______. 
 
問：有公共斜邊的兩個直角三角形組成的三棱錐外接球球
心在哪里呢？ 
答：在公共斜邊的中點 
問：這道題怎么處理呢？我們一起解決一下，由球的直徑
所對的圓周角為直角可以得到SAC和SBC均為直角三角形，連接OBOA,可得三組垂直關系，,SCOAOBOASCOB,,我們一起來表示三棱錐的體積
931
22131313RRRROASBCSV,可解
得3R,所以三棱錐外接球的表面積為3642RS. 教師板書解題過程  
類型四：側棱相等的三棱錐 
 例4.已知三棱錐ABCD中9BC,
6CDBDADACAB,則三棱錐ABCD的外接球的表面積是_____. 
 
問：你采用了那種方法？你是如何解決的？你的答案是多少？請一位同學講解一下解題過程. (學生板書解題過程，教師補充)  
類型五：側面垂直底面的三棱錐 
例5.已知三棱錐ABCP的所有頂點都在球O的球面上， 
PAB與ABC都是邊長為32的正三角形，平面PAB平面ABC，求球O的體積. 
 
                    
             
                    
                             
問:側面垂直底面的三棱錐外接球問題，你采用什么方法解決的？你的解題思路是什么？答案是多少？ 學生回答，教師補充 課堂練習 
1、已知在三棱錐ABCP中，側面PAC底面ABC，BCAB,5,2PCAPBCAB,求三棱錐ABCP的外接球表面積. 
2、已知CBAP,,,四點均在表面積為36的球面上，其中
PA平面ABC,30BAC,6AB,23AC,求三
棱錐ABCP的體積. 
（小組討論，請兩位同學展示練習演算過程）    
學生鞏固所學幾種三棱錐的外接球模型 
課堂小結 
1、五種特殊三棱錐模型 
2、求三棱錐外接球的三種方法 3、體會轉化的數學思想 
  
學生一起小結本節課內容 課后作業 
1. 三棱錐的三條棱PCPBPA,,兩兩互相垂直，1PCPBPA,則其外接球的體積為_____. 2.已知三棱錐ABCD中，1BCAB,2AD,
5BD,2AC,ADBC,則三棱錐的外接球的表面積為（  ） 
 A．6    B.6      C.5     D.8 3.四面體PABC中2BCPA,4PCAB,3PBAC，其外接球的體積為_____. 
4.平面內，邊長為2的等邊三角形PAC，與等腰直角三角形ABC有公共邊AC, 90ABC,沿著AC把ABC折起，使3PB,三棱錐ABCP四個頂點都在球O的表面上，則球O的表面積為____.

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