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視頻標簽：祖暅原理,球體的表面積
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教A版高中數學必修二第一章《1.3祖暅原理與柱體、錐體、球體的表面積和體積》建設
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人教A版高中數學必修二第一章《1.3祖暅原理與柱體、錐體、球體的表面積和體積》建設兵團省級優課
1.3祖暅原理與柱體、錐體、球體的表面積和體積
一、教材分析
（1）教材的地位與作用：本節內容是數學2第一章空間幾何體第3節空間幾何體的表面積與體積的第1課時柱體、錐體、球體的表面積與體積，本節課在公式推導過程中所滲透的類比、化歸等思想方法，都是學生今后學習和工作中必備的數學素養。
（2）從知識的體系來看：祖暅原理與柱體、錐體、球體的表面積和體積，是在學生已從結構特征和視圖兩個方面感性認識空間幾何體的基礎上，進一步從度量的角度來認識空間幾何體，它屬于立體幾何入門的內容，所以教學的目的是使學生了解空間幾何體的表面積的計算方法，并且和學生一起探究祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積公式，進而能進一步計算簡單幾何體的表面積和體積。 二、學情分析
（1）學生的已有的知識結構：掌握了空間幾何體的結構特征，空間幾何體的三視圖和直觀圖。
（2）教學對象：高一的學生，學習興趣比較濃,表現欲較強, 邏輯思維能力也初步形成，具有一定的分析問題和解決問題的能力，但由于年齡的原因，思維盡管活躍、敏捷，卻缺乏冷靜、深刻，因而片面、不夠嚴謹。
（3）從學生的認知角度來看：在學習柱體、錐體、球體的表面積時，大部分學生易于接受，而且掌握的比較好，但是在探究祖暅原理與柱
體、錐體的體積公式時，學生學起來比較吃力。 三、課時分配
本節內容用1課時的時間完成，主要講解柱體、錐體、球體的表面積，并且探究祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積公式． 四、教學目標
（1）知識與技能————理解并掌握柱體、錐體、球體的表面積與體積的推導過程，在此基礎上，并能理解祖暅原理的精髓。 （2）過程與方法————通過對公式推導方法的探索與發現，向學生滲透特殊到一般、類比與轉化等數學思想，培養學生觀察、比較、抽象、概括等邏輯思維能力。
（3）情感，態度與價值觀————培養學生勇于探索、敢于創新的精神，從探索中獲得成功的體驗，感受數學的奇異美、結構的對稱美、形式的簡潔美。 五、重點、難點分析
教學重點：公式的推導、公式的特點和公式的運用。 教學難點：探究祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積公式。 六、教法與學法分析
培養學生學會學習、學會探究是全面發展學生能力的重要前提，是高中新課程改革的主要任務。如何培養學生學會學習、學會探究呢？建構主義認為：“知識不是被動吸收的，而是由認知主體主動建構的。”這個觀點從教學的角度來理解就是：知識不是通過教師傳授得到的，而是學生在一定的情境中，運用已有的學習經驗，并通過與他人（在
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教師指導和學習伙伴的幫助下）協作，主動建構而獲得的，建構主義教學模式強調以學生為中心，視學生為認知的主體，教師只對學生的意義建構起幫助和促進作用。因此，本節課采用了啟發式和探究式相結合的教學方法，讓老師的主導性和學生的主體性有機結合，使學生能夠愉快地自覺學習，通過學生自己觀察、分析、探索等步驟，自己發現解決問題的方法，比較論證后得到一般性結論，形成完整的數學模型，再運用所得理論和方法去解決問題。一句話： 還課堂以生命力，還學生以活力。 七、課堂設計 （一）創設情境
[利用投影展示] 水立方與金字塔圖片。
提出問題：同學們，它們的表面積怎樣計算呢？
[設計意圖：在引入課題的同時激發學生的興趣，調動學習的積極性．] 小試牛刀
已知水立方的長，寬，高分別為180m， 180m，30m試求它的表面積. 叫學生獨立回答 301804180180s表
[設計意圖：通過給出具體的數值，讓學生再回顧一下長方體的表面積計算公式，并且注意在解決實際問題時，要具體問題具體分析。] （二）導入新課
探究1：棱柱、棱錐、球體的表面積
問題：在初中已經學過了長方體的表面積，你知道長方體的展開圖的
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面積與其表面積的關系嗎？
結論：長方體是 6個矩形 圍成的多面體，其表面積就是 各個面的面積之和 ，也就是展開圖的面積.
教師引導學生得出：要求一個幾何體的表面積，首先將它展成平面圖形，進而去求平面圖形的面積。
[設計意圖：讓學生將長方體的表面積與它展開圖的面積聯系在一起，并且引導學生得出求一般幾何體的表面積的方法。] 棱錐的表面積
新知1：棱柱、棱錐、棱臺都是多面體，它們的表面積就是其 展開圖的面積。
[設計意圖：讓學生知道在求多面體的表面積時，就是將各個面的面積加起來。]
師問：同學們能不能幫老師解決金字塔的問題？
練一練、埃及胡夫金字塔大約建于公元前2580年,其形狀為正四棱錐.金字塔高146.6米,底面邊長230.4米. 這座金字塔的表面積是多少？
平面
側面展開
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（只列式不計算）
由題意可得：AC=146.6m BC=2.1154.2302
1m AB=226.1462.115m
所以4.2302
1
4表S 226.1462.1152m
提出問題后，先讓學生小組討論，然后選派一名代表給大家講解，之后教師給以點評。其中，教師特別強調，AC叫做棱錐的體高，AB叫做棱錐的斜高。
[設計意圖：在讓學生學會合作學習的同時，也要注意具體問題要具體分析。]
師問：同學們，對于旋轉體的表面積們應該如何去計算呢？我們先來探究圓柱體的表面積。
探究2：圓柱、圓錐、球體的表面積
問題：根據圓柱、圓錐的幾何特征，它們的側面展開圖是什么圖形？它們的表面積等于什么？你能推導它們表面積的計算公式嗎？
新知2：（1）設圓柱的底面半徑為r，母線長為l，則它的表面積等于 側面積+底面積，即 圓柱表S= 22r 2rl . （2）設圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則它的表面積等于 側面積
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+底面積 ，即圓錐表S= 2r rl . [設計意圖：通過提問的方式，讓學生參與進來，和學生一起建構知識體系。]
對于球的表面積，和學生一起分享一個有趣的驗證試驗。得出球的表面積計算公式。
（3）球體的面積計算公式球S= 24R . 師問：這個演示實驗對大家有什么啟發？
[設計意圖：對于球的表面積，高一的孩子用目前所學知識無法推導球的表面積，因此，借用一個有趣的驗證試驗視頻，通過觀察，不僅得到了球的表面積公式，而且激發了學生的學習興趣。] （三） 典型例題
例、如圖,圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑,求證:球的表面積等于圓柱的側面積. 教師在黑板上板演。
證明：設球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為R, 高為2R.
因為球S=24R 圓柱側S=22422RRR 所以球S=圓柱側S
變式1、求證：球的表面積等于圓柱全面積的 3
2 . 學生在黑板上板書。
[設計意圖：對基本公式的應用]
探究3：祖暅原理與柱體、錐體與的體積 提問：水立方和金字塔的體積積怎么計算？
O
R
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小試牛刀
已知水立方的長，寬，高分別為180m， 180m，30m試求它的體積. 教師叫學生回答：V=180*180*303m
[設計意圖：啟發學生從最基本的長方體入手，回顧體積公式。] 祖暅(gèng)原理與柱體、錐體的體積 祖暅的介紹
師問：請一位音色優美，聲音洪亮的同學給大家朗讀一下。
祖暅是南北朝時代著名數學家祖沖之的兒子。受家庭的影響，尤其是父親的影響，他從小熱愛科學，對數學具有濃厚的興趣。祖沖之除了在計算圓周率方面的成就，還與他的兒子祖暅一起，用巧妙的方法解決了柱體，錐體，球體的體積計算。他們當時采用的原理，在西方被稱為“卡瓦列里”原理，但這是在祖氏父子以后一千多年才由意大利數學家卡瓦列里發現的。為了紀念祖氏父子的這一偉大發現，數學上也稱這個原理為“祖暅原理”。 師問：這個材料對大家有什么啟發？
[設計意圖：啟發學生要有愛國主義情懷，要有探索的精神。] 祖暅原理：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體,被平行于這兩個平面的任意平面所截,如果截面(陰影部分)的面積都相等,那么這兩個幾何體的體積一定相等。
應用祖暅原理可以說明：等底面積、等高的兩個柱體或錐體的體積相等.
[設計意圖：理解祖暅原理的內容，在闡述祖暅原理時，重點強調它
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的精髓是同底等高。]
教師用幾何畫板演示用祖暅原理如何去證明柱體、錐體的體積。 探究一、柱體的體積
設有底面積都等于S，高都等于h的任意一個棱柱、一個圓柱和一個長方體，使它們的下底面在同一個平面α內（如圖）
教師用幾何畫板演示用祖暅原理如何去證明柱體體積。
由祖暅原理可知：等底面積等高的任意兩個柱體的體積相等，而長方體的體積為長方體V= sh，所以與長方體等底面積等高的棱柱、圓柱的體積為：
柱體V= sh（S為底面積，h為高）
[設計意圖：在幾何畫板的演示中，讓學生切實感受到用一個平行于底面的平面去截幾何體時，它們的截面面積處處相等這一現象，從而由特殊到一般，概括出柱體的體積公式。] 探究二、錐體的體積
設有底面積都等于S，高都等于h的任意一個三棱錐、一個圓錐和一個四棱錐，使它們的下底面在同一個平面α內（如圖）
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教師用幾何畫板演示用祖暅原理如何去證明錐體體積。 結論：等底面積等高的兩個錐體的體積相等
[設計意圖：在幾何畫板的演示中，讓學生切實感受到用仁義一個平行于底面的平面去截幾何體時，它們的截面面積處處相等這一現象，從而得出等底面積等高的兩個錐體的體積相等。] 探究錐體的體積公式
思考1：一個三棱柱可以分割成幾個三棱錐？ 生答：3個
思考2:每個錐體的體積有什么關系？說明理由。
學生活動：前后6人一小組，給三分鐘討論，然后請其中一組的代表起來匯報。
錐體體積公式為： shV3
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錐 ，（S為底面積h為高） [設計意圖：通過問題1和問題2 ，讓學生將三棱錐和三棱柱聯系起來，并且訓練學生能用等底面積等高來證明兩個錐體的體積相等這一能力，通過小組的合作交流，更能增強學生學習的積極性。] （四）練一練
埃及胡夫金字塔大約建于公元前2580年,其形狀為正四棱錐.金字塔高146.6米,底面邊長230.4米. 這座金字塔的體積是多少？（只列式不計算）
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生答：3
6.1464.2304.2303
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mshV錐
[設計意圖：再次熟悉錐體的體積公式。] （五）課堂小結
請同學們談談在本節課的收獲吧！
[設計意圖：從知識層面對本節課進行梳理，從情感態度價值觀方面，培養學生勇于探索、敢于創新的精神。] （六）作業布置
1、用祖暅原理探究球體的體積公式. 2、習題1.3 A組 1、2、3、4.
[設計意圖：將球的體積留作探究作業，啟發學生從推導柱體、錐體的體積公式中得到啟發，看能否在幾何畫板中演示祖暅原理在球體中的應用。] （七）板書設計
祖暅原理與柱體，錐體，球體的表面積和體積
一、表面積
rlrS222圓柱表 rlrS2圓錐表 2
4RS球
二、體積
sh
V柱體
sh
V31錐體 3
3
4RV球 例題 變式 小結 作業
（八）教學反思
本節課立足課本，著力探究，設計合理，層次分明。充分體現以學生發展為本，培養學生的類比、歸納和探究能力，遵循學生的認知
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規律，體現理論聯系實際、循序漸進和因材施教的教學原則，通過問題情境的創設，激發興趣，使學生在問題解決的探索過程中，由學會走向會學，由被動答題走向主動探究。在教學思想上既注重知識形成過程的教學，還特別突出學生學習方法的指導，探究能力的訓練，引導學生發現數學的美，體驗求知的樂趣。
視頻來源：優質課網 www.m.fsyixinda.com
