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視頻標簽：單位圓與任意角,正弦函數,余弦函數的定義
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：北師大版必修四高二4.1“單位圓與任意角的正弦函數函數、余弦函數的定義”江西省優課 
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北師大版必修四高二4.1“單位圓與任意角的正弦函數函數、余弦函數的定義”江西省優課
“單位圓與任意角的正弦函數函數、余弦函數的定義”
第一課時教學設計
一、教學內容解析
1、本節課是北師大版《數學4》第一章“三角函數”中的“單位圓與任意角的正弦函數函數、余弦函數的定義（第一課時）”，其重點內容是任意角的三角函數概念的建構.通過引入直角坐標系，實現用銳角終邊上點的坐標表示銳角的三角函數值（坐標化）；隨著單位圓的引入（形式優化），進而引導學生注意到在單位圓中，銳角和單位圓上的點有對應關系，因為角的集合與實數集之間可以建立一一對應的關系，從而發現銳角的弧度數和單位圓上點的坐標之間形成函數關系（函數化）；最終形成任意角的三角函數的概念（一般化）.之后，通過例題闖關，應用了概念，加強了對概念的理解（概念理解強化）.
2、任意角的三角函數是三角學內容的基礎，是后續內容學習的思維起點，是整個三角學認知結構的生長點.它的學習既是學科系統內部知識發展的需要，又是坐標思想、數形結合思想的載體，更是對函數概念理解和認識的一次升華.學習過程中的認知沖突，容易激發學生思維的積極性，有助于探究、創新能力的培養.由銳角三角函數的定義到任意角三角函數的定義是學生認識上的突破，也是體會特殊到一般思想的良好素材. 二、教學目標設置
1、知識與技能：①借助單位圓讓學生認識和理解任意角的三角函數的定義②讓學生能根據定義判定三角函數的符號③讓學生知道公式一，并由此體會三角函數的周期性特點.
2、過程與方法：①通過回憶初中的銳角三角函數定義，發現角概念推廣后其局限性，必須尋找其它方式定義；②在形成新的銳角三角函數定義的過程中領悟坐標法的優越性，加深對函數概念的理解；③由特殊到一般的思想推廣到任意角的三角函數定義；④通過探究任意角正弦函數定義，類比得到任意角的余弦函數和正切函數，培養學生類比分析的能力；⑤通過對三角函數值在各個象限符號的確定，培養學生利用規律解決問題的意識；⑥通過對公式一的學習，培養學生數形結合的意識，讓學生體會三角函數的周期性.
3、情感態度與價值觀：①培養學生在運動變化的過程中認識知識的發生和發展，體會知識之間的內在聯系，感悟知識的整體性；②通過小組合作交流，倡導學生主動參與課堂，培養學生團隊合作的意識；③通過對新知識的探究，培養學生分析解決問題的能力和理性思維的能力. 三、教學重點
1、對任意角的正弦函數、余弦函數定義的理解；2、正弦、余弦、正切函數值在各個象限內符號的確定；3、三角函數的周期性特點（公式一）. 四、教學難點
任意角的三角函數概念的建構過程. 五、學生學情分析
學生在初中學習的銳角三角函數是以銳角為自變量，以邊的比值為函數值的函數，以及高中學習過的函數的定義和任意角及弧度制，這些是學生學習任意角的三角函數知識的基礎和依據.本節課從研究銳角三角函數的概念出發，更容易激發學生學習的熱情，從而催生學生創造性思維.在概念建構的過程中，學生必需經歷由特殊到一般的認識過程以及把新的概念納入到一般函數的結構之中，這是認知過程的一道坎，又是認知的一次升華. 六、教學策略分析
本課采用“引”“探”相結合的方式，將問題以問題串的形式展現，讓學生在憤悱中形
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成認知沖突，體會、感悟數學研究的一般思路和方法. 課堂中以學生為主體，將學生分成若干小組，使學生全員參與課堂，通過學生之間合作交流，教師間或參與學生的討論，對有困惑的小組或者個別學生進行幫助和引導，培養學生主動探究新知識的能力.此外，為了提高教學效果，使課堂教學更生動形象，利用多媒體課件進行教學. 七、教學過程
（一）創設情境，導入新課
（問題1到問題2是溫故知新化過程）
問題1 初中我們在直角三角形中學習過銳角三角函數，你能回憶出初中銳角的正弦、余弦、正切函數是怎樣定義的嗎？你能說出它們的自變量是什么，又以什么為函數值呢？自變量的范圍是什么？
設計意圖：要讓學生體會知識的產生、發展過程，就要從源頭上開始，從學生現有認知狀況開始，因此對銳角三角函數的復習是必不可少的.將銳角三角函數融入學生已有的函數知識結構中，容易為學生建立起任意角的三角函數獲取心理邏輯的自然.
問題2 在高中，隨著角的概念的推廣和弧度制的引入，角的范圍變成了全體實數R，那么對于任意角，比如當為鈍角時，角 的“斜邊”這種說法還存在嗎？那么任意角的三角函數該如何定義呢？
設計意圖：利用角的變化作為思維的切入點，打破學生已有的認知結構的平衡，感受學習新知識的必要性，即角的范圍擴大了，初中銳角三角函數的定義也應該與時俱進，這有利于將探究的主動權交給學生. （二）提出問題，探求新知
（問題3到問題5是定義坐標化過程） 問題3 中國有句古話說的好，“工欲善其事，必先利其器”.隨著角的概念推廣和弧度制的引入，我們一般借助什么工具來研究角？
設計意圖：依托學生已有的經驗，啟發學生聯想，觸發學生的靈感，為坐標法的實施奠定研究的基礎.
問題4 我們先研究哪種角呢？是直接研究任意角的情形還是先研究銳角的情形呢？ 設計意圖：以銳角三角函數的研究為本節課知識的“生長點”，這樣的研究符合學生的認知規律，學生有思考的落腳點，更能夠激發學生的求知欲，由特殊到一般的思想突破本節課任意角三角函數概念的建構這一教學難點.
問題5 對于任意角都有始邊和終邊.在直角坐標系中，如何放置銳角可以方便研究？在銳角的終邊上任取一點(,)Pab，它與原點O的距離為r，你能用點P的坐標及r來表示銳角的三角函數嗎？
設計意圖：把銳角放在直角坐標系下對學生來說比較簡單，構造直角三角形也是一目了然的，這樣可以把復習的初中的銳角三角函數的定義納入直角坐標系，將邊長的比變成坐標關系，為任意角的三角函數定義的給出做好鋪墊.提及“始邊”、“終邊”也是為了概念一般化做鋪墊.
（問題6到問題7是表達式形式優化過程）
問題6 當銳角確定，如果改變的終邊上的P點位置，角的正弦值會發生改變嗎？ 設計意圖：問正弦值這一種情況，方便師生研究.余弦值和正切值可以類比得到，更方便學生理解（下面有類似問法也是同樣考慮）;由三角形相似，說明在終邊上任意取點不影響三角函數值. 這是為單位圓定義的提出做好鋪墊.
問題7 數學追求“簡潔美”，既然這三個比值與終邊上點P的位置無關，那么當P點選在何處時，sincos和的形式最簡單？
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設計意圖：通過問題的形式過渡，自然得出單位圓的概念.由此便可順勢得出sincos和的簡化形式，體現了數學的“簡潔美”.同時也明確在單位圓的背景下，銳角和單位圓上P點有對應關系.
（問題8到問題10是函數化過程）
問題8 當銳角發生變化時，P點的坐標會發生相應的改變嗎？（追問）當銳角確定了，P點的坐標是否唯一確定？（配合動畫演示）（教師板書：任意銳角（實數）→唯一實數b；任意銳角（實數）→唯一實數a.）
設計意圖：初中學生對函數理解還比較膚淺，這里提出的問題扣準了函數概念的內涵，突出了變量之間的依賴關系及對應關系，是從一般函數知識演繹到三角函數知識的重要環節，是準確理解三角函數概念的關鍵.
問題9 你能給這個函數（任意銳角（實數）→唯一實數b）命名嗎？
設計意圖：只單問一個函數，可以方便學生思考，也方便師生共同總結，還可以讓學生在自行總結任意角的三角函數概念時有參照對象.
問題10 既然是函數，你能說出銳角正弦函數的自變量嗎？以什么為函數值呢？ 設計意圖：讓學生能更好的理解銳角三角函數的定義，同時為總結任意角三角函數定義打好基礎.
（問題11到問題12是特殊到一般化過程）
問題11 我們現在得到的銳角三角函數的定義和初中所學銳角三角函數定義有什么區別？ 設計意圖：加強學生對新的定義方式的理解，讓學生意識到任意角沒有“斜邊”，但是有“始邊”、“終邊”，從而發現對于任意角，如果始邊放在x軸非負半軸上，其終邊定與單位圓有唯一交點，從而能形成函數關系.為歸納任意角三角函數概念掃清心理障礙.
問題12 由特殊到一般的思想，你能給任意角的三角函數下一個定義嗎？（教師在與學生交流中，板書定義）
設計意圖：利用類比、遷移的認知規律，學生容易給出任意角的三角函數定義.學生可以意識到銳角三角函數是任意角三角函數的特例，任意角三角函數是銳角三角函數的自然延伸. （三）分析思考，加深理解
（下列問題是概念理解強化過程）
問題13 既然它們是函數，就要注意其定義域，它是函數的“生命之域”，那么正弦、余弦、正切函數的定義域分別是什么？ 設計意圖：因為角的集合與實數集之間可以建立一一對應的關系，故三角函數也可以看成實數為自變量的函數，強調了其函數屬性.
問題14 當為銳角時，sin,cos,tan的值都是正數，當的終邊落在各個象限時，它們分別取什么符號？
設計意圖：對比銳角三角函數，讓學生再次回憶任意角三角函數的定義，培養學生利用規律解決問題的意識.
設置一個閱讀環節，讓學生閱讀“三角函數名稱由來簡史”.
設計意圖：通過三角知識簡史的閱讀，讓學生有新奇感，同時提高課堂的數學文化感，讓學生感知數學是源于生活的.以此，進一步激發學生的學習熱情. （四）強化訓練，鞏固雙基 第一關 求
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的正弦、余弦和正切的值. 設計意圖：將例題以闖關的形式呈現，和綜藝節目設置相似，寓教于樂，能激發學生的學習熱情；明確已知角的終邊，要求其三角函數值，可以先求終邊與單位圓的交點坐標，通過運
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用概念，鞏固對概念的理解. 問題15 （追問）求
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的正弦、余弦和正切的值. 設計意圖：引起學生發現這兩個角的終邊是重合的，所以它們與單位圓的交點坐標相同，由任意角三角函數的定義可知，終邊相同的角的同一三角函數值是相等的.讓學生體驗到公式一的作用和三角函數的周期性.
第二關 確定下列三角函數值的符號： （1）cos260
； （2）sin()4
； （3）tan(700)； （4）tan3.
第三關 求下列三角函數值：
(1)sin(1050)； 9(2)cos4； 11(3)tan()6
. 設計意圖：判斷三角函數值的正負符號，是本節課的教學目標之一，引導學生抓住定義、數
形結合判斷三角函數值的正負符號，同時應用終邊相同的角的同一三角函數值是相等的這一結論.
第四關 已知角
的終邊經過點0(3,4),P求角的正弦，余弦和正切值.
0(3,4)(0),Paaa情況又如何？
設計意圖：該點不在單位圓上，與例題1的解法對比；為課后探究“角終邊上任一點
(,)Qxy，求角的正弦、余弦和正切的值.”這一問題作鋪墊；增加了一個問題，加強了
學生對任意角三角函數定義的理解，同時滲透了分類討論的思想. （五）課堂小結,升華提高
知識與技能：任意角三角函數的定義（單位圓）；能根據定義判定三角函數的符號；公式一（終邊相同的角的同一三角函數值相等）即三角函數的周期性特點. 思想與方法：坐標法、特殊到一般、數形結合、類比、轉化、分類討論.
設計意圖：讓學生自己總結，教師補充，并且提醒學生知識重要，探究的思想與方法更重要，體現了教學應以學生為主體，教師為主導的新課標理念.
（六）作業布置：1、課本15頁練習2、3、5.
2、假設角的頂點是直角坐標系的原點，始邊與x軸的非負半軸重合，
已知角終邊上任一點(,)Qxy，求角的正弦、余弦和正切函數值. 3、通過本節課學習，你對任意角三角函數有哪些新的認識？利用定義你能解決哪些問題？你還有哪些不明白的地方？請把它寫下來.
設計意圖：體現作業的多樣性，鼓勵學有余力的同學課后探究，因材施教，多元發展. 教師和學生同唱勵志歌曲《奔跑》，課堂在歌聲中結束.
設計意圖：拉近師生關系，也鼓勵學生不畏艱難，在學習過程中保持奔跑的態度.在數
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學課堂也可以滲透品德教育.
視頻來源：優質課網 www.m.fsyixinda.com
