視頻標(biāo)簽：矩形中的,折疊問題

所屬欄目：初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：初中數(shù)學(xué)人教版八年級下冊第17章《矩形中的折疊問題》青海省 - 西寧

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《矩形中的折疊問題》教學(xué)設(shè)計 
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析 （一）內(nèi)容  
人教版八年級下冊《矩形中的折疊問題》 (二)內(nèi)容解析  
在初中數(shù)學(xué)中，矩形的折疊是我們常見的一種數(shù)學(xué)問題，也是初中數(shù)學(xué)新教材中的一個重要內(nèi)容，在中考中常以選擇、填空的形式出現(xiàn).這類問題的解決是有規(guī)可循的，由于矩形的折疊只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀及大小，因而在矩形的折疊變換中，保持了許多圖形定量的不變性，如圖形中線段的長短不變，圖形中角的大小不變等.這些圖形定量的不變性，在初中幾何全等型問題的解決中，具有很重要的運(yùn)用價值，一些要通過作輔助線進(jìn)行全等證明的數(shù)量關(guān)系，由圖形的折疊變換就可以直接得到. 矩形折疊問題中蘊(yùn)含著重要的軸對稱知識，因此，解決這類問題的關(guān)鍵是弄清折痕(即對稱軸)及其兩側(cè)的全等圖形，然后利用勾股定理的性質(zhì)，還可以連接對稱點(diǎn)，利用軸對稱的性質(zhì)進(jìn)行推理、計算。本節(jié)課選擇矩形折疊中最常見求角度、求線段長兩類題型為學(xué)習(xí)內(nèi)容。 
(三)教學(xué)重點(diǎn)  
熟練掌握矩形折疊問題中求角度和求線段長的方法。 二、目標(biāo)和目標(biāo)解析 
（一）目標(biāo)  
新課程標(biāo)準(zhǔn)注重教學(xué)內(nèi)容與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，注重學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、推理、想像等探索過程。根據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的知識水平，依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，我確定了以下的教學(xué)目標(biāo)。 
知識與技能：1.掌握折疊問題的方法；2.掌握折疊問題中求角度和求線段長的方法。  
過程與方法：通過探究和推理論證，發(fā)展學(xué)生的分析問題和解決問題的能力；通過經(jīng)歷矩形折疊問題的探究，掌握探究問題的方法；體會利用方程思想、轉(zhuǎn)化思想解決折疊問題的一般方法.  
 
                    
             
                    
                            情感態(tài)度價值觀：提供探究問題的機(jī)會，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動中充滿著探索與創(chuàng)新，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的興趣，獲得解決問題的成功體驗(yàn)。 
（二）目標(biāo)解析  
1.通過探究使學(xué)生得到解決折疊問題的方法。 
2.讓學(xué)生經(jīng)歷觀察——猜想——驗(yàn)證——證明——歸納的認(rèn)知過程，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。 
3.讓學(xué)生通過探究，尋找到解決折疊問題的思路，并且從中體會探究過程中所滲透的數(shù)學(xué)思想。 
4.探究過程中引導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，從而培養(yǎng)學(xué)生分析問題，解決問題的能力。 
5.在展示環(huán)節(jié)中鼓勵學(xué)生勇于展示，善于展示，讓學(xué)生體驗(yàn)成功，激發(fā)學(xué)生的探究精神和幾何學(xué)習(xí)的興趣。 三、教學(xué)問題診斷分析 
（1）認(rèn)知基礎(chǔ)：學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過全等三角形、軸對稱以及矩形，對全等三角形、軸對稱以及矩形的性質(zhì)有一定的認(rèn)識，同時在探究等腰三角形性質(zhì)的過程中已經(jīng)有了折紙的經(jīng)驗(yàn)，所以對于本節(jié)課的探究學(xué)生應(yīng)該擁有相應(yīng)的知識和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。（2）心理特征：八年級學(xué)生處于青春期，好動，好表現(xiàn)，求知欲望高，有較強(qiáng)的動手能力，獲得外界評價的意識強(qiáng)。同時學(xué)生又缺乏將動手過程轉(zhuǎn)化為幾何語言的能力。從學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和心里特征不難看出學(xué)生已經(jīng)擁有了相應(yīng)的知識基礎(chǔ)和探究經(jīng)驗(yàn)，但同時學(xué)生又普遍缺乏透過現(xiàn)象看本質(zhì)，尋找出折疊的規(guī)律。課堂教學(xué)中要對學(xué)生進(jìn)行知識、方法、能力方面的梳理，引導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，從而形成能力。進(jìn)一步提高學(xué)生綜合解決數(shù)學(xué)問題的能力，掌握數(shù)學(xué)方法和技能。要盡量多地引導(dǎo)學(xué)生通過多種方法，合作探究，解決折疊
 
                    
             
                    
                            問題中具有代表性的問題。教師適時加以點(diǎn)撥，整理思路，總結(jié)規(guī)律。展示環(huán)節(jié)是學(xué)生展示自我，體驗(yàn)成功的重要手段。教師要鼓勵學(xué)生勇于展示，善于展示。要教會學(xué)生舉一反三，讓學(xué)生運(yùn)用學(xué)會的方法和思路來解決問題，形成觸類旁通的數(shù)學(xué)能力。要充分相信學(xué)生，多數(shù)題目學(xué)生可以當(dāng)“老師”，完全可以講明白，在不斷學(xué)習(xí)中使數(shù)學(xué)能力得到提高。 四、教學(xué)支持條件分析 
根據(jù)本節(jié)課內(nèi)容的特點(diǎn)，為了更直觀、形象的突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，提高課堂效率，采用以觀察發(fā)現(xiàn)，合作探究的教學(xué)組織方式，在教學(xué)過程中，通過設(shè)置一系列學(xué)生的探究活動，創(chuàng)設(shè)問題情境，啟發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生親身體驗(yàn)知識的產(chǎn)生、發(fā)展和形成的過程． 五、【教學(xué)過程設(shè)計】 
教學(xué) 
程序 
教  學(xué)  內(nèi)  容 
設(shè) 計 說 明 
1、創(chuàng)設(shè)情景，引入新課 
創(chuàng) 設(shè) 情 景 
布置課前作業(yè)： 用一張矩形紙片，制作一件手工折紙作品.    
  
欣賞、贊美學(xué)生的作品， 我們同學(xué)的作品，是用矩形紙片，經(jīng)過適當(dāng)?shù)牟眉艉腿舾纱蔚恼郫B得到，今天我們來學(xué)習(xí)矩形中的折疊問題. 
創(chuàng)設(shè)生動活潑、貼近學(xué)
生的問題情境，讓學(xué)生主動參與，樂于探究，在不斷觀察、動手地學(xué)習(xí)過程中，激發(fā)學(xué)習(xí)動機(jī)和好奇心。同時讓學(xué)
生在親身動手體驗(yàn)中
透過現(xiàn)象看本質(zhì)：折疊的實(shí)質(zhì)就是軸對稱變
換 2、師生互動,探究新知：  
 
                    
             
                    
                            探   究   新   知 
探究活動一: 
如圖所示，在矩形ABCD中，把△ACD沿AC折疊到△ACD′，AD′與BC交于點(diǎn)E.  〖分析過程：〗 
1.圖中全等的圖形有哪些？    
 (由折疊就會出現(xiàn)全等，本題目的折疊特殊性，出現(xiàn)了兩個全等的三角形.) 
  2.圖中相等的線段有哪些?相等的角有哪些?   (由全等三角形的性質(zhì)得到對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。由矩形的性質(zhì)得到對邊相等，對角相等。)   
3.圖中還有那些特殊的三角形？ 
 
(有平行線和角分線就會出現(xiàn)等腰三角形，有矩形就會
出現(xiàn)直角三角形。) 
 
 
 
探究活動二： 
在矩形紙片ABCD中，按如圖方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF. 
 
分析：  
1.圖中全等的圖形有哪些？  
2.圖中相等的線段有哪些?相等的角有哪些?  
3.圖中還有哪些特殊的三角形？  
圖形是沿著某一直線折疊，使矩形對角的頂點(diǎn)互相重合.我們?nèi)匀徽业搅讼嗟鹊木�段、角，全等三角形，等腰三角形，還有特殊的四邊形——菱形.  
學(xué)生初遇翻折問題，往往一片茫然，不知從何下手，究其原因是對由折疊產(chǎn)生的相等的線
段和相等的角這個條件找的不好。另外，因
為折疊而形成的圖形
較抽象，需要一定的空
間想象能力，而這方面能力是學(xué)生較欠缺的。通過兩個活動的設(shè)計降低折疊的難度，教會學(xué)生解決折疊問題的方法。關(guān)注基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，給予鼓勵和信心。  
  
  
再一次強(qiáng)調(diào)折疊得全等，全等得邊等、角等。抓住不變量。弄清折疊的本質(zhì)，折疊過程中的變量和不變量. 通過及時的幫助學(xué)生梳理知識和方法，掌握解題方法和技巧，  
 
                    
             
                    
                            探  究  新  知 
（圖形是沿著某一直線折疊，使矩形對角的頂點(diǎn)互相重合.我們?nèi)匀徽业搅讼嗟鹊木�段、角，全等三角形，等腰三角形。）  
總結(jié)： 
以上兩個探究活動體現(xiàn)了折疊問題中的基本折法，通過兩個探究活動，我們今后再遇到此類問題應(yīng)該有了一定的解題思路. 
    首先，我們應(yīng)該從由折疊產(chǎn)生的軸對稱圖形和背景圖形的性質(zhì)入手，找出全等圖形，找出相等的線段、角等，這些是我們解決問題的基本條件. 
其次，根據(jù)這些基本條件，再結(jié)合我們在幾何中已有的知識經(jīng)驗(yàn)，挖掘常見的基本圖形，從而找到直角三角形、等腰三角形等特殊圖形，這些是解決問題的關(guān)鍵.  
    
探 
  究   新   知 
應(yīng)用： 
在矩形紙片ABCD中，按如圖方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF. 
1．角度的計算 若∠EFD＝75°，求∠AED。 
  
    
（折疊得全等，全等得角等，再利用矩形的對邊平行的性質(zhì)可以求出角的度數(shù)。）   
2．線段的計算 
若AD＝3，AB＝9，求BE的長．      
（在矩形中求邊的長度，要把矩形中的折疊問題和勾股定理緊密結(jié)合，運(yùn)用方程來解決問題.）  
    
 
講練結(jié)合，讓學(xué)生在動手做題的過程中悟出解答矩形折疊問題中
求角度問題的依據(jù)和
關(guān)鍵   
 
 
一題多變，圖形不變，條件變，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識的能力。此題目的設(shè)計，達(dá)到學(xué)生能夠熟悉利用勾股定理，建立方程的解題方法和思路。  
 
                    
             
                    
                            探   究   新   知 
3．面積的計算 
若AD＝3，AB＝9，求：四邊形DEBF的面積．     
(連接BF,則四邊形DEBF是特殊的四邊形菱形，計算 面積的方法有底×高，割補(bǔ)法，對角線乘積的一半。)  
4．折痕計算  
若AD＝3，AB＝9，求EF的長．         
方法一：構(gòu)造直角三角形 方法二：等積法 
方法三：菱形的對角線  
將矩形按不同要求進(jìn)行折疊，就會產(chǎn)生豐富多彩的幾何問題，而這些問題中往往融入了豐富的對稱思想，綜合了三角
形、四邊形的諸多知識，千變?nèi)f化，趣味性很強(qiáng)。   
一題多解，本環(huán)節(jié)的設(shè)計，調(diào)動學(xué)生的積極性.培養(yǎng)學(xué)生挖掘圖形的所有價值的能力.通過及時的幫助學(xué)生梳理知識和方法，掌握解題方法和技巧，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生分析問題和決問題的能力  
3、小結(jié) 
歸納 總結(jié)  
感悟與收獲  
  
通過本次探究談?wù)勀愕氖斋@？ 
  
      
以小組合作形式進(jìn)行的。全員參與，理清知識脈絡(luò)，讓學(xué)生明確本次探究獲得的新知，同時讓學(xué)生體會本次探究中獲得的經(jīng)驗(yàn)和方法，從而體會探究中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。培養(yǎng)學(xué)生語言表達(dá)及概括能力。活躍課堂氣氛。 
4、目標(biāo)檢測  
 
                    
             
                    
                            DCF
E
BA
BCADFED'C'
G目 
  標(biāo)   檢   測 
1． 將長方形ABCD的紙片，沿EF折成如圖所示；已知EFG=55º，則FGE=          2．如圖，矩形ABCD沿BE折疊，使點(diǎn)C落在AD
邊上的F點(diǎn)處，如果ABF=60º，則CBE=          
   
  
  第1題                 第2題           
 
              
3．折疊矩形ABCD，讓點(diǎn)B落在對角線AC上，如
圖，若AD=4，AB=3，請求出線段EF=________。 
  
  
 
 
第3題      
 4．如圖，矩形紙片ABCD中，AB=3厘米，BC=4厘
米， 現(xiàn)將A、C重合，再將紙片折疊壓平. （1）△AEF是_________三角形. （2）AE=_______. 
（3）試確定重疊部分△AEF的面積.   
    
第4題 
（1）（2）題進(jìn)一步 加強(qiáng)學(xué)生對折疊中簡單
的角度計算的理解，利
用軸對稱圖形的對稱性
和平行線的性質(zhì)作聯(lián)系
找等角來計算相關(guān)的度
數(shù)。  
 
（3）在矩形中求邊的長度，要把矩形中的折疊
問題和勾股定理緊密結(jié)合，運(yùn)用方程來解決問
題.進(jìn)一步鞏固本課的解決線段長度問題的   （4）題再一次回到基本
模型，強(qiáng)調(diào)折疊前后的變量和不變量，由矩形
性質(zhì)、折疊找線段等，設(shè)未知數(shù)，選擇恰當(dāng)?shù)?br /> 直角三角形，利用勾股定理建立方程，解方程。內(nèi)化本節(jié)課的知識體系，并熟練掌握。

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