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視頻標簽：圓的內接四邊形
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：北師大版數學九年級下冊《圓的內接四邊形》甘肅省 - 張掖
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《圓的內接四邊形》教學設計
一、教學目標
1．理解圓內接四邊形和四邊形的外接圓的概念．
2．經歷探索圓內接四邊形性質定理的過程，發展合情推理和演繹推理的能力． 3．體驗借助計算機技術用運動的觀點來研究圖形的動態方法．
4．積極參與數學學習的動手實踐活動，感悟問題解決的數學方法，體驗成功的樂趣．
二、學情分析
1．教材內容：《圓的內接四邊形》在初中數學北師大2011課標版教材中沒有安排單獨的節次列出來進行教學，而是作為圓周角和圓心角的關系第二節教學內容．因此，在教學中應該突出圓周角和圓心角定理及推論的同時，加強定理及推論的應用教學，提高學生的分析問題和解決問題的綜合能力．
2．學生情況：該班48名學生全部為住校生，課堂教學中分為8個小組開展教學．長期的課堂教學改革使學生在動手畫一畫、量一量，對直觀圖形的觀察歸納和猜想，自己去發現結論，并用命題的形式表述結論等方面有一定的學習積極性和主動性．因此，在教學中應進一步提高學生合作學習和交流討論意識，重視學生有效的問題解決和數學思考，加強數學思想和方法的教學．
3．教學方法：利用計算機技術的動態效果可以增強學生參與數學活動的意識，培養學生的動手實踐能力、觀察能力、歸納能力和自學能力．通過使用《幾何畫板》改變圓的半徑，移動四邊形的頂點等．讓圖形動起來說話，充分調動學生的直覺思維，激發了學生學習的興趣，使學生深刻理解圖形與幾何的關系．因此，在教學中要加強創設問題情境讓學生發現而獲得，經歷觀察、度量、猜想、計算、證明的問題研究過程中，發展學生思維能力，重視學生的自主合作探究的學習過程．
三、教學重、難點
重點： 探索圓內接四邊的性質定理．
圖1
難點：感悟圓內接四邊形性質定理的探索過程中問題解決的數學方法．
四、教學方式
本節課主要采用探究式教學法，在教師的啟發引導下，學生分組自主探究．
五、教學過程
教學 環節
教師活動
學生活動
活動說明
課前復習 提出問題
練習：求圖中∠1的度數：
定理：圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角的度數的一半．
推論：同弧或等弧所對的圓周角相等． 通過兩個簡單的練習，復習第一課時學習的圓周角和圓心角的關系．
討論:：直徑所對圓周角的度數等于多少？
兩個題目比較簡單，關鍵在于引導學生學會看圖，從圖中看出圓心角和圓周角的一些關系．
實驗探究 推理論證
問題一：如圖1，BC是圓⊙ O的直徑，它所對的圓周角有什么特點？你能證明你的結論嗎？
在《幾何畫板》中，教師引導學生根據問題一的條件作出圖形，度量∠A的度數，任意拖動點A，觀察∠A度數；再繞點O，旋轉直徑，觀察∠A度數．
猜想：這是圓周定理的一種特殊情況，即直徑所對的圓周角是直角． 完成導學案:問題解決
如圖中，直徑所對的圓心角是∠BOC=180°，所以∠A=90°．
讓會動的圖形作為學生理解幾何關系的基礎，教師要在給出常規圖形之后給出動態圖形，利用《幾何畫板》的動態功能可以很好的表達變化規律，可
問題二：如圖2，圓周角∠A=90°，弦BC是圓⊙ O的直徑嗎？你能證明你的結論嗎？
在《幾何畫板》中，教師引導學生根據問題二的條件作出圖形，OB，OC度量圓心角∠BOC的度數，通過改變圓的半徑的大小，觀察∠BOC度數；任意拖動點B，觀察∠BOC度數；．
推論：直徑所對的圓周角是直角; 90°的圓周角所對的弦是直徑．
問題三：利用圓周角定理研究圓內接四邊形的性質． 探究活動一：
如圖3，在⊙ O 上，任取四個點 A 、 B 、 C、 D， 然后順次連結各點，所得到的是什么圖形？這個圖形與⊙ O 有什么關系？
問題二與問題一是互逆的．
連接OB，OC 由圓周角∠A=90°，
則圓心角∠BOC=180°，即BOC是一條線段，也就是說BC是的一條直徑．
閱讀課本p82,議一議 完成導學案: 探究活動
四邊形的四個頂點都在同一個圓上．
若一個四邊形各頂點都在同一個圓上，那么，這個四邊形叫做圓內接四邊形，這個圓叫做這個四邊形的外接圓．
以動態地保持圖形與幾何關系，因此在變化的圖形中揭示恒定不變的幾何規律．
增強學生提問的意識，關鍵的是讓學生產生“疑問”．教學中，可以通過優化各種教學策略，讓學生在有效的誘發疑問的因素中自然而然產生困惑，并積極主
圖2
圖3
圖5
任意一個四邊形都有外接圓嗎? 在《幾何畫板》中，教師引導學生根據探究活動一的條件作出圖形用用鼠標拖動隨意拖動四頂點，隨著點在平面內的任意移動，讓學生理解圓內接四邊形的概念以及任意一個四邊形不一定有外接圓． 探究活動二：
如圖4， A 、 B 、 C、 D是⊙ O 上四點， AC為⊙ O 的直徑，∠BAD與∠BCD之間有什么關系？為什么？
在《幾何畫板》中，教師引導學生根
據探究活動二的條件作出圖形，度量出
∠BAD與∠BCD的度數．引導學生計算并總結：∠BAD+∠BCD=180°．再用鼠標隨意拖動頂點A與C，隨著點在圓上任意移動，屏幕上∠BAD與∠BCD的度數的度量值隨著角的大小變化而變化，教師指導學生猜測變化中的不變關系，問學生發現了什么關系?怎樣敘述這種關系? 探究活動三：
如圖5，點C的
思考：任意一個四邊形不一定有外接圓．
用度量和計算的方法驗證結論，并進行交流．交流討論后，學生代表說出本小組的猜想．
∠BAD與∠BCD的和等于180°
寫出證明過程： ∵AC為直徑
∴∠ABC=90°，
∠ABC=90°
∵∠ABC+∠BCD+
∠ABC+∠BAD=360°
∴∠BAD+∠BCD=180° ∴∠BAD與∠BCD互補．
猜想：圓內接四邊形
動地提出疑問．
師生合作猜想．
探究活動
二是一種特殊
情況．
探究活動三把問題從特殊推廣到一般．
圖4
位置發生了變化， ∠BAD與∠BCD之間的關系還成立嗎？為什么？
在《幾何畫板》中，教師引導學生根據探究活動三的條件作出圖形，度量出∠A、∠B、∠C、∠D的度數．引導學生計算并總結： ∠A+∠C=180°，
∠B+∠D=180°．再用鼠標拖動隨意拖動四個頂點，隨著頂點在圓上任意移動，屏幕上∠A、∠B、∠C、∠D的度數的度量值隨著角的大小變化而變化，教師指導學生猜測變化中的不變關系．
探究活動四：
如圖6，∠BAE是圓內接四邊形ABCD的一個外角，∠C與∠BAE的大小有什么關系？
的對角互補
觀察、計算并總結：圓內接四邊形的對角互補．
寫出證明過程 已知：如圖 5，四邊形 ABCD 內接于⊙ O．
求證：
∠BAD +∠BCD = 180° ， ∠ ABC + ∠ADC=180°
證明：連接OB，OD
2∠21∠ ∵=BAD，
1∠2
1
∠=BCD
∵∠1+∠2=360°
∴∠BAD+∠BCD=180° ∴∠BAD與∠BCD互補
猜想：圓內接四邊形的任何一個外角都等于它的內對角．
完成導學案:運用知識
寫出證明過程 ∵四邊形ABCD是圓內接四邊形
∴∠C+∠BAD=180°
∵∠BAE+∠BAD=180° ∴∠C=∠BAE ．
并通過測量加以驗證，可以很形象地揭示了圓內接四邊形的對角互補．
圖6
圖7
運用知識 嘗試解疑
例 1 ：已知：如圖7 ， AD 是△ ABC 的外角 ∠EAC 的平分線，與△ ABC 的外接圓交于點 D ．
求證： DB=DC ．
例 2 ：如圖 8 ，⊙1O 和⊙2O都經過 A，B 兩點，經過點 A 的直線 CE 與⊙1O，交于點 C，與⊙2O交于點E，經過點 B 的直線DF 和⊙1O 交于點D，與⊙2O交于
點 F ． 求證： CD ∥ EF
證明：連接 AB
∵四邊形ABDC是⊙1O圓內接四邊形
∴∠ACD=∠ABF
∵四邊形ABFE是⊙2O圓內接四邊形 ∵∠ABF+∠AEF=180° ∴∠ACD+∠AEF=180°
∴CD ∥ EF．
討論后回答． 證明：∵四邊形ABCD是圓內接四邊形
∴∠BCD=∠DAE
∵∠CBD=∠CAD
∠DAE=∠CAD
∴∠BCD=∠CBD
∴DB=DC
方法：(學生分組討論下列問題)
①要證明兩條直線平行可以用那些定理?
②本題中我們要讓 CE ∥ DF 需要什么?
③在無法證明時，你能在圖形中找到圓內接四邊形嗎?怎樣找?(連接 AB )
在學生獨立思考的基礎上，教師鼓勵學生交流討論，認真觀察圖形，找出兩個圖形之間的聯系．
拓展延伸 開闊視野
托勒密(Ptolemy)定理指出，圓的內接
四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線
的乘積．
已知：如圖，A、B、C和D分別是⊙
完成導學案:開闊視野
學生猜測并分析變化中的不變關系．
鼓勵學生總結研究圖形使用的方法，如度量與計
圖8
O上的點．
求證：AB·CD+AD·CB=AC·BD
用鼠標拖動A、B、C、D四個點中任意一個，線段AB、AC、AD、BC、BD和CD的長度隨之發生變化，通過動態圖形的數學實驗數據，利用計算功能得出AD·BC、 AB·CD、AC·BD的值，指導學生猜測并分析變化中的不變關系，并加
以驗證從而得出托勒密定理的結論：
AD·BC+ AB·CD=AC·BD
解決問題應該經歷“觀察猜想——實驗驗證——推理證明”三個基本環節．
證明過程課后探索完成
算，猜想與證明等．
測評練習 查缺補漏
觀察學生完成練習情況，進行個別指導．
完成導學案:測評練習
感悟問題
解決的數學方
法，體驗成功的樂趣．
梳理知識 總結方法
本節課學習了哪些知識?
探討圓內接四邊形的性質，一般要從
完成導學案:學習總結
認識了圓內接四邊形．
四邊形的外接圓
探索圓內接四邊形定理．
探索托勒密(Ptolemy)定
理．
從角、邊、對角線入手 學生梳理
本節所學的知
識，建立知識
體系；增進他
們對數學思想
方法的理解．
AC∙BD = 100.12 厘米2
BC∙DA = 73.26 厘米2
AB∙CD = 26.86 厘米2
BD = 9.92厘米AC = 10.09厘米
DA = 8.89厘米BC = 8.24厘米
CD = 4.16厘米
AB = 6.46厘米O
A
D
B
C
哪幾個方面入手?
本課學習了哪些思想方法? 這些數學思想方法體現在什么地方? 以前的學習中有沒有使用過類似的思想方法．
教師對學生的舉例予以追問，尋求學生對所舉例與數學思想之間的深入認識．對部分不合適的例子加以分析．
學生總結： 方法1：解決問題應該經歷“觀察猜想——實驗驗證——推理證明”三個基本環節．
方法2：從特殊到一般的研究方法，對特殊圖形進行研究，而后改變特殊性，得出一般圖形，總結一般規律．
課后作業 動手實踐
習題P83，習題3．5
查閱并收集托勒密(Ptolemy)定理的有關資料
在布置作
業時，應尊重
的個體差異．
課后反饋 總結提升
1．用動態圖形創設富有啟發性的教學情境，問題呈現的形式符合學生的認知方式和思維習慣。用動畫效果在調動學生的學習興趣上有了積極的作用。學生在問題情境中的和諧交互活動，增強了學習幾何圖形的好奇心，引起對問題的學習討論與思考。
2．在經歷了度量、計算、觀察、分析、猜想、證明、應用的過程中，使學生思維能力得到了發展。
3.個別學生在自主合作探究的學習過程中，參與積極性和探索問題的意識有待提高，在學生體驗成功的喜悅，并獲得戰勝困難積極向上的心理體驗方面還要加強。
六、教學設計說明
本節課利用《幾何畫板》采取了度量、計算的方式，使學生通過對動態圖形的觀察歸納和猜想，進一步發現結論，并用進行推理論證。這種用動態圖形創設富有啟發性的教學情境，問題呈現的形式更符合學生的認知方式和思維習慣。比單純用語言描述設計更能引起學生的數學思考，特別是動畫效果在調動學生的學習興趣上有積極的作用。學生在問題情境中的和諧交互活動，增強了學習幾何圖形的好奇心，引起對問題的學習討論與思考。
幾何需要圖形動起來說話，讓會動的圖形作為學生理解幾何關系的基礎，在給出常規圖形之后給出動態圖形，利用幾何畫板等動態軟件的功能可以很好的表達變化規律，可以動態地保持圖形與幾何關系，因此在變化的圖形中揭示恒定不變的幾何規律。
在教學中對學生發現和創新意識的培養，增強學生的自信心，要給他們一個促進發現的機會與環境。在這方面計算機與黑板相比，突出優勢是計算機的交互功能和智能性為學生提供了利于發現的理想環境。通過鼠標控制圖形的變化，及時動態地對線段、角、弧等幾何量進行測量和計算，從而發現規律，這是刻度尺、量角器等教學工具很難做到的。
本節課在增大數學課堂教學的探索性，計算機技術進入數學課堂的同時，探索了托勒密(Ptolemy)定理的發現過程，使學生感受了數學的價值，增強了學習數學的信心。在學生作業中增加了開放題(作業 2 )，為學生創造了更為廣闊的思維空間。
教師在指導學生學習概念和原理時，只給他們一些事實和問題，讓學生積極思考，獨立探索，自己發現并掌握相應的原理和規則，對此本教學案例中圓的內接四邊形的概念、性質等均沒有直接給學生，而是在教師創設的問題情境中讓學生發現而獲得。在經歷了度量、計算、觀察、分析、猜想、證明、應用的過程中，使學生思維能力得到了發展，在自主合作探究的學習過程中，嘗到了探索的樂趣，體驗了成功的喜悅，并獲得了戰勝困難積極向上的心理體驗。
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