視頻標(biāo)簽：最短路徑問題

所屬欄目：初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)第十三章13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題-廣西 - 南寧

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教學(xué)目標(biāo)
1.目標(biāo)
( 1 ) 前置微視頻學(xué)習(xí)目標(biāo):①了解如何將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問題②會(huì)解決“將軍飲馬問題”,理解通過(guò)軸對(duì)稱實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化將線段和最小值問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間,線段最短”問題,感悟轉(zhuǎn)化思想.③理解如何通過(guò)邏輯推理證明所求距離最短,體會(huì)“任意”的作用.
    ( 2 ) 課堂基礎(chǔ)目標(biāo):分析較復(fù)雜最短路徑問題.
( 3 ) 課堂拓展目標(biāo):在分析較復(fù)雜最短路徑問題的基礎(chǔ)上,總結(jié)解決這一類最短路徑問題的基本方法與思路,學(xué)會(huì)舉一反三.
2.目標(biāo)解析
達(dá)成目標(biāo)的標(biāo)志是:學(xué)生能將實(shí)際問題中的“地點(diǎn)”“河邊”抽象為數(shù)學(xué)中的“點(diǎn)”“線”,把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問題;能利用軸對(duì)稱將線段和最小值問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間,線段最短”問題;能通過(guò)邏輯推理證明所求距離最短;在探索最短路徑的過(guò)程中,體會(huì)到軸對(duì)稱的“橋梁”作用,感悟轉(zhuǎn)化思想..
2學(xué)情分析
最短路徑問題從本質(zhì)上說(shuō)是最值問題,作為初中學(xué)生,在此前很少涉及最值問題,解決這方面問題數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)尚顯不足,特別是面對(duì)具有實(shí)際背景的最值問題,更會(huì)感到陌生,無(wú)從下手.
解答“當(dāng)點(diǎn)A,B在直線l的同側(cè)時(shí),如何在l上找到點(diǎn)C,使AC與CB的和最小”,需要將其轉(zhuǎn)化為“直線l異側(cè)的兩點(diǎn),與l上的點(diǎn)的線段和最小”問題,為什么需要轉(zhuǎn)化、怎樣通過(guò)軸對(duì)稱實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化,一些學(xué)生會(huì)存在理解上和操作上的困難.
在證明“最短”時(shí),需要在直線上任取一點(diǎn)(與所求做的點(diǎn)不重合),證明所連線段和大于所求作的線段和,這種思路和方法,一些學(xué)生想不到.
基于以上分析,教學(xué)前,教師先將學(xué)生的難點(diǎn)問題制作成微視屏,學(xué)生根據(jù)自己的學(xué)習(xí)情況,通過(guò)“微視屏”學(xué)習(xí),理解怎樣把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問題;怎樣通過(guò)軸對(duì)稱實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化將線段和最小值問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間,線段最短”問題;怎樣通過(guò)邏輯推理證明所求距離最短.
在學(xué)生學(xué)習(xí)了視屏內(nèi)容以后,課堂教學(xué)的重心就放在對(duì)于此類最短路徑問題的理解和再應(yīng)用.教學(xué)中先讓學(xué)生復(fù)習(xí)視頻學(xué)習(xí)的內(nèi)容,并通過(guò)解決前測(cè)理解單的問題,總結(jié)視屏學(xué)習(xí)的內(nèi)容。接著,通過(guò)小組學(xué)習(xí)解決同類變式,拓展提升的問題加強(qiáng)學(xué)生對(duì)解決最短路徑問題的應(yīng)用.
3重點(diǎn)難點(diǎn)
最短路徑問題在現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常遇到,初中階段,主要以“兩點(diǎn)之間,線段最短”“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中,垂線段最短”為知識(shí)基礎(chǔ),有時(shí)還要借助軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)等變換進(jìn)行研究.
本節(jié)課以數(shù)學(xué)史中的一個(gè)經(jīng)典問題——“將軍飲馬問題”為載體開展對(duì)“最短路徑問題”的課題研究,讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問題,再利用軸對(duì)稱將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間,線段最短”(或“三角形兩邊之和大于第三邊”)問題.
基于以上分析,確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn):利用軸對(duì)稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間,線段最短”問題. 本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是:如何利用軸對(duì)稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題.
4教學(xué)過(guò)程
4.1第一學(xué)時(shí)
4.1.1教學(xué)活動(dòng)
活動(dòng)1【導(dǎo)入】教學(xué)設(shè)計(jì)
(一)前置微視頻學(xué)習(xí)
1. 通過(guò)微視頻學(xué)習(xí)學(xué)生了解如何將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問題
2. 會(huì)解決“將軍飲馬問題”,理解通過(guò)軸對(duì)稱實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化將線段和最小值問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間,線段最短”問題,感悟轉(zhuǎn)化思想.
3. 理解如何通過(guò)邏輯推理證明所求距離最短,體會(huì)“任意”的作用.
設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生可通過(guò)反復(fù)觀看微視頻,充分有效的學(xué)習(xí),實(shí)現(xiàn)個(gè)性化自主學(xué)習(xí)。
(二)預(yù)習(xí)檢測(cè)
1.閱讀以下問題和解答過(guò)程:
如圖1,在公路m旁有兩個(gè)工廠A、B,現(xiàn)要在公路上建一下倉(cāng)庫(kù)Q到A、B兩工廠的距離之和最短。倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在何處?
某同學(xué)正確地畫出了圖形,并寫出了畫圖過(guò)程.
解:如圖2,
點(diǎn)A關(guān)于公路m的對(duì)稱點(diǎn)A1;
直線A1B與公路m交于一點(diǎn)Q,倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在點(diǎn)Q的位置,此時(shí)倉(cāng)庫(kù)到A、B兩工廠距離之和最短.
請(qǐng)你回答:這位同學(xué)斷定倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在“直線A1B與公路m的交點(diǎn)Q”的主要依據(jù)是(     )答案:D
A.垂線段最短
B.兩點(diǎn)確定一條直線
C.兩點(diǎn)之間,直線最短
D.兩點(diǎn)之間,線段最短
2. 如圖,直線l是一條河,P,Q兩地在河的同側(cè),欲在l上的某點(diǎn)M處修建一個(gè)水泵站,向P,Q兩地供水,現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案,圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道,則鋪設(shè)的管道最短的是( )答案:B
       
                   A         B          C           D
3.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(-2,4),B(4,2),在x軸上取一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離之和最小,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(    )答案:C
A.(-2,0)B.(4,0)C.(2,0)D.(0,0)
設(shè)計(jì)意圖:該練習(xí)以基礎(chǔ)題為主,是對(duì)微視頻學(xué)習(xí)知識(shí)的直接應(yīng)用,學(xué)生通過(guò)微視頻學(xué)習(xí),能夠比較準(zhǔn)確地完成前測(cè)理解練習(xí),培養(yǎng)學(xué)生自己學(xué)習(xí)和解決問題的能力.教師也可以通過(guò)同學(xué)們?cè)诰�答題的情況,了解每一個(gè)學(xué)生對(duì)微視頻學(xué)習(xí)知識(shí)的掌握情況,并有針對(duì)性的對(duì)個(gè)別錯(cuò)誤率較低的題通過(guò)課堂小組交流解決,對(duì)于錯(cuò)誤率較高的題則由教師評(píng)析.
活動(dòng)2【講授】教學(xué)設(shè)計(jì)
(三)課堂教學(xué)
1.交流分享
總結(jié)前測(cè)理解單的完成情況,并對(duì)微視頻學(xué)習(xí)知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)總結(jié).
設(shè)計(jì)意圖: 課堂上對(duì)于學(xué)生的預(yù)習(xí)所得,給予充分展示,通過(guò)學(xué)生之間的交流,達(dá)到基本知識(shí)的認(rèn)知建構(gòu),為課堂教學(xué)做準(zhǔn)備.
變式訓(xùn)練
A
如圖,若將軍從A地出發(fā),先到草地邊某一處牧馬,再到河邊飲馬.然后回到A處,請(qǐng)畫出最短路徑.
設(shè)問1:如何將這個(gè)問題轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)問題?(全班完成)
設(shè)問2:如何確定最短路徑?(小組合作)
設(shè)問3:解決這一類最短路徑問題的一般步驟是什么?(個(gè)人總結(jié))
設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生分小組討論,嘗試解決這個(gè)較復(fù)雜的最短路徑問題,學(xué)生將微視頻的學(xué)習(xí)知識(shí)加以應(yīng)用,體會(huì)解決最短路徑問題的一般方法并總結(jié)解決最短路徑問題的關(guān)鍵是通過(guò)軸對(duì)稱變換將“折”路徑轉(zhuǎn)化在一條直線上,依據(jù)“兩點(diǎn)之間,線段最短”.
(三)課堂教學(xué)
1.交流分享
總結(jié)前測(cè)理解單的完成情況,并對(duì)微視頻學(xué)習(xí)知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)總結(jié).
設(shè)計(jì)意圖: 課堂上對(duì)于學(xué)生的預(yù)習(xí)所得,給予充分展示,通過(guò)學(xué)生之間的交流,達(dá)到基本知識(shí)的認(rèn)知建構(gòu),為課堂教學(xué)做準(zhǔn)備.
變式訓(xùn)練
A
如圖,若將軍從A地出發(fā),先到草地邊某一處牧馬,再到河邊飲馬.然后回到A處,請(qǐng)畫出最短路徑.
設(shè)問1:如何將這個(gè)問題轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)問題?(全班完成)
設(shè)問2:如何確定最短路徑?(小組合作)
設(shè)問3:解決這一類最短路徑問題的一般步驟是什么?(個(gè)人總結(jié))
設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生分小組討論,嘗試解決這個(gè)較復(fù)雜的最短路徑問題,學(xué)生將微視頻的學(xué)習(xí)知識(shí)加以應(yīng)用,體會(huì)解決最短路徑問題的一般方法并總結(jié)解決最短路徑問題的關(guān)鍵是通過(guò)軸對(duì)稱變換將“折”路徑轉(zhuǎn)化在一條直線上,依據(jù)“兩點(diǎn)之間,線段最短”.
(三)課堂教學(xué)
1.交流分享
總結(jié)前測(cè)理解單的完成情況,并對(duì)微視頻學(xué)習(xí)知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)總結(jié).
設(shè)計(jì)意圖: 課堂上對(duì)于學(xué)生的預(yù)習(xí)所得,給予充分展示,通過(guò)學(xué)生之間的交流,達(dá)到基本知識(shí)的認(rèn)知建構(gòu),為課堂教學(xué)做準(zhǔn)備.
變式訓(xùn)練
A
如圖,若將軍從A地出發(fā),先到草地邊某一處牧馬,再到河邊飲馬.然后回到A處,請(qǐng)畫出最短路徑.
設(shè)問1:如何將這個(gè)問題轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)問題?(全班完成)
設(shè)問2:如何確定最短路徑?(小組合作)
設(shè)問3:解決這一類最短路徑問題的一般步驟是什么?(個(gè)人總結(jié))
設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生分小組討論,嘗試解決這個(gè)較復(fù)雜的最短路徑問題,學(xué)生將微視頻的學(xué)習(xí)知識(shí)加以應(yīng)用,體會(huì)解決最短路徑問題的一般方法并總結(jié)解決最短路徑問題的關(guān)鍵是通過(guò)軸對(duì)稱變換將“折”路徑轉(zhuǎn)化在一條直線上,依據(jù)“兩點(diǎn)之間,線段最短”.
(三)課堂教學(xué)
1.交流分享
總結(jié)前測(cè)理解單的完成情況,并對(duì)微視頻學(xué)習(xí)知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)總結(jié).
設(shè)計(jì)意圖: 課堂上對(duì)于學(xué)生的預(yù)習(xí)所得,給予充分展示,通過(guò)學(xué)生之間的交流,達(dá)到基本知識(shí)的認(rèn)知建構(gòu),為課堂教學(xué)做準(zhǔn)備.
變式訓(xùn)練
A
如圖,若將軍從A地出發(fā),先到草地邊某一處牧馬,再到河邊飲馬.然后回到A處,請(qǐng)畫出最短路徑.
設(shè)問1:如何將這個(gè)問題轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)問題?(全班完成)
設(shè)問2:如何確定最短路徑?(小組合作)
設(shè)問3:解決這一類最短路徑問題的一般步驟是什么?(個(gè)人總結(jié))
設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生分小組討論,嘗試解決這個(gè)較復(fù)雜的最短路徑問題,學(xué)生將微視頻的學(xué)習(xí)知識(shí)加以應(yīng)用,體會(huì)解決最短路徑問題的一般方法并總結(jié)解決最短路徑問題的關(guān)鍵是通過(guò)軸對(duì)稱變換將“折”路徑轉(zhuǎn)化在一條直線上,依據(jù)“兩點(diǎn)之間,線段最短”.
(三)課堂教學(xué)
1.交流分享
總結(jié)前測(cè)理解單的完成情況,并對(duì)微視頻學(xué)習(xí)知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)總結(jié).
設(shè)計(jì)意圖: 課堂上對(duì)于學(xué)生的預(yù)習(xí)所得,給予充分展示,通過(guò)學(xué)生之間的交流,達(dá)到基本知識(shí)的認(rèn)知建構(gòu),為課堂教學(xué)做準(zhǔn)備.
變式訓(xùn)練
A
如圖,若將軍從A地出發(fā),先到草地邊某一處牧馬,再到河邊飲馬.然后回到A處,請(qǐng)畫出最短路徑.
設(shè)問1:如何將這個(gè)問題轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)問題?(全班完成)
設(shè)問2:如何確定最短路徑?(小組合作)
設(shè)問3:解決這一類最短路徑問題的一般步驟是什么?(個(gè)人總結(jié))
設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生分小組討論,嘗試解決這個(gè)較復(fù)雜的最短路徑問題,學(xué)生將微視頻的學(xué)習(xí)知識(shí)加以應(yīng)用,體會(huì)解決最短路徑問題的一般方法并總結(jié)解決最短路徑問題的關(guān)鍵是通過(guò)軸對(duì)稱變換將“折”路徑轉(zhuǎn)化在一條直線上,依據(jù)“兩點(diǎn)之間,線段最短”.
活動(dòng)3【活動(dòng)】教學(xué)設(shè)計(jì)
拓展突破
B
A A
如圖,若將軍從A地出發(fā),先到草地邊某一處牧馬,再到河邊飲馬.然后回到B處,請(qǐng)畫出最短路徑.
(小組合作解決)
設(shè)計(jì)意圖:在學(xué)生已經(jīng)歸納、總結(jié)相關(guān)結(jié)論的基礎(chǔ)上進(jìn)行再應(yīng)用,體會(huì)軸對(duì)稱在解決最短路徑問題中的“橋梁“作用.
活動(dòng)4【活動(dòng)】教學(xué)設(shè)計(jì)
課堂小結(jié)
設(shè)問:通過(guò)解決最短路徑問題你有什么的收獲?
設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生總結(jié)解決最短路徑問題的收獲,理解解決最短路徑問題的一般方法并總結(jié)解決最短路徑問題的關(guān)鍵是通過(guò)軸對(duì)稱變換將“折”路徑轉(zhuǎn)化在一條直線上,依據(jù)“兩點(diǎn)之間,線段最短”. 體會(huì)軸對(duì)稱在解決最短路徑問題中的“橋梁“作用.
活動(dòng)5【練習(xí)】教學(xué)設(shè)計(jì)
反饋鞏固
1.某班舉行文藝晚會(huì),桌子擺成兩條直線(如圖中的AO,BO),AO桌面上擺滿了桔子,BO桌面上擺滿了糖果,坐在C處的學(xué)生小明先拿桔子再拿糖果,然后回到座位,請(qǐng)你幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線,使其所走的總路程最短?
2.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2,3)點(diǎn)Q 的坐標(biāo)是(3,2 ).在x
軸和y軸上分別確定點(diǎn)M和點(diǎn)N坐標(biāo),使四邊形PQMN的周長(zhǎng)最小.
設(shè)計(jì)意圖:及時(shí)反饋課堂學(xué)習(xí)成果。通過(guò)學(xué)生在課堂上先獨(dú)立做作業(yè),對(duì)于難題通過(guò)小組解決,組內(nèi)不能解決的由全班、教師一起解決的形式,及時(shí)呈現(xiàn)并解決學(xué)生學(xué)習(xí)中的問題。
活動(dòng)6【作業(yè)】教學(xué)設(shè)計(jì)
7.課后拓展
如圖,將軍要從A地去B地完成任務(wù),兩地之間有一條寬為a的小河,在何處架
橋才能使A地到B地的路程和最短 ?
設(shè)計(jì)意圖:作為本節(jié)課的一個(gè)拓展,不需要學(xué)生課堂解決,為下節(jié)課的引入鋪設(shè)
懸念.
 

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