視頻標(biāo)簽：最短路徑問題

所屬欄目：初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：人教課標(biāo)版八年級(jí)上冊(cè)13.4 課題學(xué)習(xí)最短路徑問題-天津市

教學(xué)設(shè)計(jì)、課堂實(shí)錄及教案：人教課標(biāo)版八年級(jí)上冊(cè)13.4 課題學(xué)習(xí)最短路徑問題-天津市

13.4.課題學(xué)習(xí)《最短路徑》教學(xué)設(shè)計(jì) 
 
一、教材分析 
地位作用： 現(xiàn)在是數(shù)學(xué)遵循《標(biāo)準(zhǔn)》的理念，以“生活 數(shù)學(xué)”“活動(dòng) 思考” 
為主線展開課程內(nèi)容，注重體現(xiàn)生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，其中最短路 徑問題就是這一方面知識(shí)與能力的綜合運(yùn)用。本節(jié)課的教學(xué)貼近 生活，更著眼于解決生產(chǎn)、經(jīng)營(yíng)中的問題，以省時(shí)、省財(cái)力、省 物力為教學(xué)主線，希望尋求最短路徑的數(shù)學(xué)問題。這類問題的解 答是在學(xué)生學(xué)習(xí)了“軸對(duì)稱”的基礎(chǔ)之上，依據(jù)是“兩點(diǎn)之間， 線段最短”或“垂線段最短”這一理論基礎(chǔ)上進(jìn)行推導(dǎo)、演練， 根據(jù)所給的條件的不同，在解決方法和策略上又有所差別。初中 數(shù)學(xué)中的最短路徑問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，并用數(shù)學(xué)解決 現(xiàn)實(shí)生活問題的數(shù)學(xué)應(yīng)用性。本考點(diǎn)在中考時(shí)往往以解答題的形 式出現(xiàn)。  
二、教學(xué)目標(biāo)： 
（1）知識(shí)與技能：借助軸對(duì)稱知識(shí)轉(zhuǎn)化，利用公理“兩點(diǎn)之間、線段最短”
來(lái)求線段和的最小值，從而解決最短路徑問題。體會(huì)圖
形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想。 
 
（2）過程與方法：經(jīng)歷實(shí)踐活動(dòng)的過程，得出最短路徑問題的解決辦法，
找到關(guān)于線的對(duì)稱點(diǎn)實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”，再利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”這一性質(zhì)來(lái)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。 
 
（3）情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過觀察、歸納、推理得出數(shù)學(xué)猜想，體驗(yàn)
數(shù)學(xué)充滿探索性、創(chuàng)造性。 
  
 
                    
             
                    
                            三、教學(xué)重、難點(diǎn) 
教學(xué)重點(diǎn)：確定兩點(diǎn)一線和兩點(diǎn)兩線型的線段和最小值問題。 
 
教學(xué)難點(diǎn)：分析問題、確定問題類型并解決問題。 
 
突破難點(diǎn)的方法：利用軸對(duì)稱性質(zhì)，作任意已知點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)和
已知點(diǎn)，得到一條線段，利用兩點(diǎn)之間線段最短來(lái)解決. 
 
四、教學(xué)準(zhǔn)備：多媒體課件、導(dǎo)學(xué)案 
 
五、教學(xué)過程： 
（一）復(fù)習(xí)引入 活動(dòng)一： 
教師：我們?cè)谄綍r(shí)的生活中有許多的時(shí)候都會(huì)考慮怎樣才可以使我們的利益最大
化，比如說：怎樣可以使省時(shí)、省力；再比如說，怎樣找最短距離。那我們?cè)诔踔须A段就已經(jīng)學(xué)習(xí)多了一些相關(guān)的幾何知識(shí)，現(xiàn)在請(qǐng)大家回憶一下我們學(xué)過哪些定理來(lái)說明最短距離。 
學(xué)生：思考教師展示問題，對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)鞏固，并觀察圖片，獲得感性認(rèn)
識(shí). 
設(shè)計(jì)意圖：從生活中問題出發(fā)，喚起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及探索欲望。   
活動(dòng)二：兩點(diǎn)在一條直線異側(cè)的最短路徑問題 
已知：如圖，A，B在直線L的兩側(cè)，在L上求一點(diǎn)P，  
使得PA+PB最小。  
教師：請(qǐng)同學(xué)們討論此題，并作圖。 
      討論問什么這樣作圖就是最短的路徑? 
學(xué)生：思考老師展示的問題，經(jīng)過討論，在導(dǎo)學(xué)案上作出圖形，并回答問題。 設(shè)計(jì)意圖：為學(xué)生提供參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的生活情境，培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力. （二）創(chuàng)設(shè)情景，引入課題 
活動(dòng)三：兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)的最短路徑問題——兩定一動(dòng) 
 
如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊 l 飲馬，然后到B地．牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？    
教師：請(qǐng)同學(xué)讀題，思考本題中展示的數(shù)學(xué)問題. 
學(xué)生：學(xué)生思考教師展示問題，并觀察圖片，獲得感性認(rèn)識(shí). 
設(shè)計(jì)意圖：從生活中問題出發(fā)，喚起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及探索欲望.   
追問1：觀察思考，抽象為數(shù)學(xué)問題 
教師：這是一個(gè)實(shí)際問題，你打算首先做什么？ 小組討論活動(dòng)（1）： 
學(xué)生：將A，B 兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l 抽象為一條直線． 
設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生觀察口答，自己的動(dòng)手畫圖等一系列活動(dòng)，為學(xué)生提供參與
數(shù)學(xué)活動(dòng)的生活情境，培養(yǎng)學(xué)生的把生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力. 
  
追問2：你能用自己的語(yǔ)言來(lái)說明這個(gè)題的意思嗎？可以把它抽象成一個(gè)數(shù)學(xué)問
題嗎？ 
小組討論活動(dòng)（2）： 
學(xué)生嘗試回答，并互相補(bǔ)充，最后達(dá)成共識(shí)： 
（1）從A 地出發(fā)，到河邊l 飲馬，然后到B 地；  
（2）在河邊飲馬的地點(diǎn)有無(wú)窮多處，把這些地點(diǎn)與A，B 連接起來(lái)的兩條線段
的長(zhǎng)度之和，就是從A 地到飲馬地點(diǎn)，再回到B 地的路程之和； （3）現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長(zhǎng)度之和為最短的直線l上的點(diǎn)．設(shè)C 為
直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上面的問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C 在l 的什么位置時(shí)，AC 與CB 的和最小（如圖）． 
 
 
設(shè)計(jì)意圖：通過與其他同學(xué)間的合作交流，經(jīng)歷自己的獨(dú)立思考，用觀察——畫
圖——說理等活動(dòng)，感受幾何的研究方法，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思考能力。 
強(qiáng)調(diào)：將“最短路徑問題”轉(zhuǎn)化為“線段和最小”的問題  
 
                    
             
                    
                              
追問3：嘗試解決數(shù)學(xué)問題 
教師：我們觀察點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡，猜想一下當(dāng)點(diǎn)C在直線L的什么位置時(shí)，AC 與CB的和最小？我們可以聯(lián)想剛才當(dāng)A、B位于直線L的異側(cè)時(shí)的最短路徑問你 能利用軸對(duì)稱的有關(guān)知識(shí)把同側(cè)的兩點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為異側(cè)的兩點(diǎn)嗎？ 小組討論活動(dòng)（3）： 
學(xué)生：作點(diǎn)A關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)A’，連接A’B，交直線L于點(diǎn)C，則C即為 
所求。 
設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)過學(xué)生獨(dú)立思考，合作交流等方式，達(dá)到軸對(duì)稱知識(shí)的學(xué)以致用，
教師要在講解中注意總結(jié)問題解決的方法：抓對(duì)稱性來(lái)解決。 
  
追問4：你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？ 
 
小組討論活動(dòng)（4）： 
師生互動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生推理，并給出證明過程。 證明：在直線 l 上任取另一點(diǎn)C′ ， 
連接AC′ 、BC′ 、B′ C′ ． ∵直線 l 是點(diǎn)B、B′的對(duì)稱軸，         點(diǎn)C、C′在對(duì)稱軸上， 
∴BC=B′C，BC′=B′C′．  ∴AC+BC=AC+B′C=AB′． 在△AB′C′中， 
AB′< AC′+B′C′，  ∴AC+BC < AC′+B′C′， 即AC+BC最小．   
小組討論活動(dòng)（5）： 
討論本題的做法，說出如何解答此類問題 本題小結(jié)：        
設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)歷觀察——畫圖——說理等活動(dòng)，感受幾何的研究方法，培養(yǎng)學(xué)生
的邏輯思考能力。通過相互交流解題經(jīng)驗(yàn)，提煉思想方法：軸對(duì)稱、活動(dòng)四：練習(xí) 
已知：正方形ABCD的邊BC上有一點(diǎn)E， 
請(qǐng)你在對(duì)角線CD上找到一點(diǎn)P，使 得BP+PE的和最小   
設(shè)計(jì)意圖：本題是對(duì)兩點(diǎn)在一直線同側(cè)求線段和最小問題的一個(gè)提升，雖然學(xué)生
還沒有學(xué)習(xí)過四邊形，但根據(jù)小學(xué)所學(xué)習(xí)的正方形的基本知識(shí)，以及學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)，他們可以很容易的說出取B點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)D，連接DE，交AC于P，則P即為所求。 
  
活動(dòng)五：一定兩動(dòng) 
如圖，A為馬廄，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到馬廄. 請(qǐng)你幫他確定這一天的最短路線.  
教師：請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真讀題，參照我們剛學(xué)習(xí)過的知識(shí)，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化問幾何問
題，并給出已知和求證。 學(xué)生：動(dòng)手操作畫圖 
已知：如圖，在l1、l2之間有一點(diǎn)A. 
求證：分別在l1、l2上確定一點(diǎn)M、N ，使AM+MN+NA最小. 
 
設(shè)計(jì)意圖：通過討論，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力。 師生互動(dòng)：由學(xué)生操作，老師引導(dǎo)，畫出正確圖解。 
 
 
                    
             
                    
                            設(shè)計(jì)意圖：在討論和動(dòng)手操作的過程中體會(huì)軸對(duì)稱變換對(duì)解決線段和最短問題的
重要性。 
  
活動(dòng)六：練習(xí)——兩定兩動(dòng) 
某中學(xué)八(1)班舉行文藝晚會(huì)，桌子擺成如圖所示，兩直排(圖中的AO，BO)，AO桌面上擺滿了橘子，OB桌面上擺滿了糖果，站在C處的學(xué)生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D處座位上。請(qǐng)你幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線，使其所走的總路程最短？請(qǐng)選擇正確的順序（  ） 
1、連接C1D1,分別交OA、OB于點(diǎn)P、Q； 2、作D點(diǎn)關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D1； 3、作C點(diǎn)關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)C1； 
4、那么小明沿C→P→Q→D的路線行走，所走的總路線最短 
A、2、3、1、4     B、1、2、4、3     C、3、1、2、4     D、2、3、4、1 設(shè)計(jì)意圖：本題相對(duì)比較簡(jiǎn)單，目的是讓學(xué)生熟悉掌握作圖的步驟。     
活動(dòng)七：小結(jié)歸納 
同學(xué)總結(jié)本節(jié)課所學(xué)習(xí)的知識(shí) 
           
設(shè)計(jì)意圖：自由發(fā)言，相互借鑒，自由評(píng)價(jià)。總結(jié)回顧學(xué)習(xí)內(nèi)容，幫助學(xué)生歸納
反思所學(xué)知識(shí)及思想方法。注意關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異。 
  
活動(dòng)八：當(dāng)堂監(jiān)測(cè) 
1、如圖，小河邊有兩個(gè)村莊A、B，要在河邊建一自來(lái)水廠向A村與B村供水，則下列敘述錯(cuò)誤的是（  ） 
A、若過點(diǎn)A向EF作垂線交EF于點(diǎn)M，則在點(diǎn)M建廠離A村最近 
 
                    
             
                    
                            B、若過點(diǎn)B向EF作垂線交EF于點(diǎn)N，則在點(diǎn)N建廠離B村最近 
C、若要使廠部到A、B兩村的水管最短，則作AB的垂直平分線，與EF的交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn) 
D、若要使廠部到A、B兩村的水管最短，作A點(diǎn)關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)，連接該對(duì)稱點(diǎn)與B點(diǎn)，與EF的交點(diǎn)即為所求。 
   
2、現(xiàn)有一人騎馬從C點(diǎn)到D點(diǎn)，但必須先到河岸L1的P1點(diǎn)去讓馬飲水，然后再到河岸L2的P2點(diǎn)去，再次讓馬飲水，最后到D點(diǎn)，如圖，他應(yīng)如何選擇飲馬點(diǎn)P1，P2，才能使所走的路程CP1+P1P2+P2D最短？ 
 
  3、（1）如圖1，點(diǎn)A，B在直線L兩側(cè)，請(qǐng)你在直線L上畫出一點(diǎn)P，使得PA+PB的值最小；   （2）如圖2，點(diǎn)E，F(xiàn)在直線L同側(cè)，請(qǐng)你在直線L上畫出一點(diǎn)P，使得PE+PF的值最小； 
  （3）如同3，點(diǎn)M，N在直線L同側(cè)，請(qǐng)你在直線L上畫出兩點(diǎn)O，P，使得OP=1cm ，且MO+OP+PN的值最小。 
（保留作圖痕跡，不寫做法，第三問作為選作）  
 
 
         
（圖1）                 （圖2）                （圖3） 
 
                    
             
                    
                            活動(dòng)九：作業(yè) 質(zhì)量監(jiān)測(cè)86-87 
 
活動(dòng)十：課后反思 
本節(jié)課為人教版八年級(jí)上冊(cè)的內(nèi)容，在內(nèi)容上與學(xué)生的實(shí)際生活聯(lián)系的比較緊密，也正是因?yàn)檫@樣課堂中就更多的體現(xiàn)“用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問題”這一數(shù)學(xué)思想。 
在教學(xué)設(shè)計(jì)上利用學(xué)生已有的數(shù)學(xué)體驗(yàn)進(jìn)行引入，全體學(xué)生掌握良好。在講解“求兩點(diǎn)在一條直線的同側(cè)的最短路徑問題”時(shí)，通過學(xué)生的動(dòng)手操作，互相說理，證明驗(yàn)證等一系列教學(xué)活動(dòng)讓提煉解決此類問題的方法，為了讓學(xué)生探究問題更加的順暢，我還設(shè)置了三個(gè)小問題，這樣一來(lái)學(xué)生的討論就有了依據(jù)，隨著討論越來(lái)越深入，知識(shí)呈現(xiàn)就會(huì)更具體、問題理解也變得更深刻、技能的生成也更容易，有利于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的核心知識(shí)、完成學(xué)習(xí)目標(biāo)。進(jìn)而上升到對(duì)怎樣用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問題的方法的總結(jié)。 
不足之處：課堂的引入過短，雖然引入中加入了以前的例題，但是語(yǔ)言上的引入應(yīng)該在給學(xué)生一個(gè)緩沖的時(shí)間。在教學(xué)中我給予學(xué)生討論的時(shí)間還是不夠充分，應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生多說，更好的培養(yǎng)學(xué)生的說理能力和總結(jié)能力。注重分類討論的重要性，理解每種不同類型題目之間的區(qū)別和聯(lián)系，重視建模思想的滲透，為以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

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