視頻標簽：最短路徑問題

所屬欄目：初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：人教課標版八年級上冊13.4 課題學(xué)習(xí)最短路徑問題-江蘇省 - 南京

教學(xué)設(shè)計、課堂實錄及教案：人教課標版八年級上冊13.4 課題學(xué)習(xí)最短路徑問題-江蘇省 - 南京

13．4  課題學(xué)習(xí)  最短路徑問題 
教學(xué)目標 
能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題，體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想． 
教學(xué)重點 
利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”問題． 教學(xué)難點 
探索發(fā)現(xiàn)“最短路徑”的方案，確定最短路徑的作圖及說理． 
教學(xué)過程設(shè)計 
一、創(chuàng)設(shè)情景，明確目標 
如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，走哪條路最近？你的理由是什么？ 
 
前面我們研究過一些關(guān)于“兩點的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}．現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識探究數(shù)學(xué)史中著名的“將軍飲馬問題”． 
二、自主學(xué)習(xí)，指向目標 
自學(xué)教材第85 頁至87 頁，思考下列問題： 
1．求直線異側(cè)的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要連接這兩點，與直線的交點即為所求，其依據(jù)是兩點的所有連線中，線段最短． 
2．求直線同側(cè)的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要找到其中一個點關(guān)于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一個點，則與該直線的交點即為所求． 
3．在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變化把已知問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問題，從而作出最短路徑的選擇． 
三、合作探究，達成目標 探索最短路徑問題 
 
                    
             
                    
                            要在公路（寬度不計）上修建一個泵站C，分別向公路兩側(cè)A、B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在什么地方，可使泵站C到A、B兩鎮(zhèn)所用的輸氣管線最短?    游戲  
桌上放著10顆金蛋，大家從A地出發(fā)，到桌上拿1顆金蛋跑
到B
地，最先到達的就能得到金蛋里面的禮物。如果大家的跑步速度一樣，你會選擇拿哪顆金蛋？ 活動1:思考畫圖、得出數(shù)學(xué)問題   
活動2:嘗試解
決數(shù)學(xué)問題 展示點
評：作法： 
(1)作點B 關(guān)于直線l 的對稱點B′； (2)連接AB′，與直線l 交于點C. 則點C 即為所求．  
活動3:你能用所學(xué)的知識證明AC +BC最短嗎? 
證明：如圖，在直線l上任取一點C′(與點C 不重合)，連接AC′，BC′，B′C′.由軸對稱的性質(zhì)知， 
    BC ＝B′C，BC′＝B′C′.     ∴ AC ＋BC＝ AC ＋B′C ＝ AB′，         AC′＋BC′＝ AC′＋B′C′. 
     在△AB′C′中，    AB′＜AC′＋B′C′，     ∴ AC ＋BC＜AC′＋BC′.即 AC ＋BC 最短.  小組討論：證明AC ＋BC 最短時，為什么要在直線l 上任
取一點
C′(與點C 不重合)，證明AC ＋BC ＜AC′＋BC′？這里的“C′”的作用是什么？ 
反思小結(jié)：運用軸對稱變換及性質(zhì)將不在一條直線上的兩條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上，然
 
                    
             
                    
                            后用“兩點之間線段最短”解決問題．利用三角形的三邊關(guān)系，若直線l上任意一點(與點C 不重合)與A，B 兩點的距離和都大于AC ＋BC，就說明AC ＋BC 最小. C′的代表的是除點C以外直線l上的任意一點．  
小結(jié)：運用軸對稱變換及性質(zhì)將不在一條直線上的兩條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上，然后用“兩點之間線段最短”解決問題．  
三、反思小結(jié) 你有哪些收獲?  
四、實踐作業(yè) 
如圖，地跌龍華路站與閱景龍華公交站間有一片長方形草坪，路人換乘時經(jīng)常會踐踏草坪。園林工人打算在草坪上鋪設(shè)石階，石階鋪設(shè)在什么位置路人才會愿意走？ （考慮到成本，鋪設(shè)的石階與路牙垂直）  
 
  
 
展示點評：從A到B要走的路線是A→M→N→B，如圖所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．  
解：在直線a上取任意一點M′，作M′N′⊥b于點N′，平移AM，使點M′移動到點N′的位置，點A移動到點A′的位置，連接A′B交直線b于點N，過點N作MN⊥a于點M，則路徑AMNB最短． 
理由如下：如圖，點M′為直線a上任意一點(不與點M重合)， 
 
                    
             
                    
                            ∵線段A′N′是線段AM平移得到的 ∴AA′＝MN′，A′N′＝AM 
∴AM′＋MN′＋BN′＝A′N′＋AA′＋BN′ ∵MN平行AA′且MN＝AA′ 
∴MN可以看作是AA′經(jīng)過平移得到的 ∴A′N＝AM ∴AM＋NB＝A′N＋NB 
∵根據(jù)兩點之間線段最短，得A′N＋NB＝A′B<A′N′＋BN′ ∴AM＋NB＝A′N＋NB 
∵根據(jù)兩點之間線段最短，得A′N＋NB＝A′B<A′N′＋BN′ ∴AM＋NB<AM′＋BN′ ∵MN＝MN′ 
∴AM＋MN＋NB<AM′＋M′N′＋N′B，即路徑AMNB最短． 
小組討論：回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問題的？ 反思小結(jié)：解決連接河兩岸的兩個點的最短路徑問題時，可以通過平移河岸的方法將河的寬度為零，轉(zhuǎn)化為求直線異側(cè)的兩點到直線上一點所連線段的和最小的問題．由兩點之間線段最短(或三角形兩邊之和大于第三邊)可知，求距離之和最小問題，就是運用等量代換的方式，把幾條線段的和想辦法(如利用軸對稱或平移等)轉(zhuǎn)化在一條線段上，從而解決這個問題．

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