視頻標(biāo)簽：最短路徑問(wèn)題

所屬欄目：初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：人教課標(biāo)版八年級(jí)上冊(cè)13.4 課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題-遼寧省

教學(xué)設(shè)計(jì)、課堂實(shí)錄及教案：人教課標(biāo)版八年級(jí)上冊(cè)13.4 課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題-遼寧省

13.4  課題學(xué)習(xí) 最短路徑問(wèn)題(第1課時(shí)) 
一、教材分析 
最短路徑問(wèn)題在現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常遇到，初中階段，主要以“兩點(diǎn)之間，線段最短”“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”為知識(shí)基礎(chǔ)，有時(shí)還要借助軸對(duì)稱(chēng)、平移、旋轉(zhuǎn)等變換進(jìn)行研究． 
本節(jié)課以數(shù)學(xué)史中的一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題——“將軍飲馬問(wèn)題”為載體開(kāi)展對(duì)“最短路徑問(wèn)題”的課題研究，讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問(wèn)題，再利用軸對(duì)稱(chēng)將線段和最小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短” (或“三角形兩邊之和大于第三邊”)問(wèn)題． 
二、學(xué)情分析 
最短路徑問(wèn)題從本質(zhì)上說(shuō)是最值問(wèn)題，作為初中學(xué)生，在此前很少在幾何中涉及最值問(wèn)題，解決這方面問(wèn)題的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)尚顯不足，特別是面對(duì)具有實(shí)際背景的最值問(wèn)題，更會(huì)感到陌生，無(wú)從下手． 
解答“當(dāng)點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)時(shí)，如何在l找到點(diǎn)C，使AC與CB的和最小”，需要將其轉(zhuǎn)化為“直線l異側(cè)的兩點(diǎn)，與l上的點(diǎn)的線段和最小值問(wèn)題”，為什么需要這樣轉(zhuǎn)化、怎樣通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，一些學(xué)生會(huì)存在理解上和操作上的困難． 
在證明“最短”時(shí)，需要在直線上任取一點(diǎn)(與所求作的點(diǎn)不重合)，證明所連線段和大于所求作的線段和，這種思路和方法，一些學(xué)生想不到． 
教學(xué)時(shí)，教師可以讓學(xué)生首先思考“直線l異側(cè)的兩點(diǎn)，與l上的點(diǎn)的線段和最小值問(wèn)題”，為學(xué)生搭建“腳手架”．在證明“最短”時(shí)，教師要適時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生，讓學(xué)生體會(huì)“任意”的作用． 
三、教學(xué)目標(biāo)分析 1．教學(xué)目標(biāo) 
教學(xué)目標(biāo)：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能利用軸對(duì)稱(chēng)解決簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題，能將實(shí)際問(wèn)題中的“地點(diǎn)”“河”抽象為數(shù)學(xué)中的“點(diǎn)”“線”，把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問(wèn)題；能利用軸對(duì)稱(chēng)將線段和最小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短” 問(wèn)題；能通過(guò)邏輯推理證明所求距離最短； 
在探索最短路徑的過(guò)程中，體會(huì)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解決的思想，體會(huì)軸對(duì)稱(chēng)的“橋梁”作用，感悟轉(zhuǎn)化思想．  
教學(xué)重點(diǎn)：利用軸對(duì)稱(chēng)將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問(wèn)題． 
 
                    
             
                    
                             2 
教學(xué)難點(diǎn)：如何利用軸對(duì)稱(chēng)將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段和最小問(wèn)題． 四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 
前面我們研究過(guò)一些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等的問(wèn)題，我們稱(chēng)它們?yōu)樽疃搪窂絾?wèn)題．現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問(wèn)題，本節(jié)將利用所學(xué)知識(shí)探究數(shù)學(xué)史中著名的“將軍飲馬問(wèn)題”． 
（一）搭腳手架，分散難點(diǎn)，初步滲透將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想 
鋪墊一：生活中的實(shí)際問(wèn)題——將軍騎馬從城堡A出發(fā)， 到一條筆直的小河邊l飲馬 ，怎樣走路徑最短？為什么？ 
引導(dǎo)學(xué)生分析可轉(zhuǎn)化成怎樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解決？ 數(shù)學(xué)問(wèn)題：點(diǎn)A到直線l最短路徑是什么？ 
鋪墊二：生活中的實(shí)際問(wèn)題——將軍騎馬從城堡A出發(fā)，到軍營(yíng)B，怎樣走路徑最短？為什么？ 
引導(dǎo)學(xué)生分析可以轉(zhuǎn)化為怎樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解決？ 數(shù)學(xué)問(wèn)題：點(diǎn)A到點(diǎn)B的最短路徑是什么？ 
鋪墊三：生活中的實(shí)際問(wèn)題——將軍騎馬從城堡A出發(fā)，到一條筆直的小河邊l飲馬，然后到軍營(yíng)B。將軍問(wèn)：到河邊的什么地方飲馬可使他所走的路徑最短？（城堡A和軍營(yíng)B分別在小河l的兩側(cè)）為什么？ 
引導(dǎo)學(xué)生分析可以轉(zhuǎn)化為怎樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解決？ 
在前面兩個(gè)鋪墊問(wèn)題的基礎(chǔ)上，學(xué)生可得出——“數(shù)學(xué)問(wèn)題：在直線l兩側(cè)各有一個(gè)點(diǎn)A和點(diǎn)B，在直線l上找一點(diǎn)P，使得PA+PB最小。 
（二）探究將軍飲馬問(wèn)題 
將軍飲馬問(wèn)題： 相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫．有一天，一位將軍專(zhuān)程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題： 
從圖1 中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短? 
精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)回答了這個(gè)問(wèn)題．這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被稱(chēng)為“將軍飲馬問(wèn)題”． 
你能將這個(gè)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？(1)這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，你打算首先做什么？ 
師生活動(dòng)：學(xué)生回答——將A，B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l抽象為一條直線(圖2)． (2)你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？ 
師生活動(dòng)：學(xué)生嘗試回答，并相互補(bǔ)充，最后達(dá)成共識(shí)：(1)從A地出發(fā)，到河邊l飲馬，然后到B地；(2)在河邊飲馬的地點(diǎn)有無(wú)窮多處，把這些地點(diǎn)與A，B連接起來(lái)的兩條線段的長(zhǎng)度之和，就是從A地到飲馬地點(diǎn)，再回到B地的路程之和；(3)現(xiàn)在的問(wèn)題是怎樣找出使兩條線段長(zhǎng)度之和為最短的直線l上的點(diǎn)．設(shè)C為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上面的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最小(圖3)． 
 
圖3 
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即將最短路徑問(wèn)題抽象為“線段和最小問(wèn)題”． 
2．嘗試解決數(shù)學(xué)問(wèn)題 
 如圖3，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最小？ 
師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，畫(huà)圖分析，并嘗試回答，相互補(bǔ)充． 
在前面的鋪墊訓(xùn)練中，對(duì)于點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在直線l兩側(cè)時(shí)，學(xué)生已經(jīng)知道如何在直線l上找一點(diǎn)P，使得PA+PB最小，因此，教師設(shè)計(jì)小組活動(dòng)，提出問(wèn)題如何將這個(gè)問(wèn)題點(diǎn)A和點(diǎn)B在直線同側(cè)向異側(cè)轉(zhuǎn)化？ 
（問(wèn)題1），如何將點(diǎn)B“移”到l的另一側(cè)B′處，
滿足直線l上的任意一點(diǎn)C，都保持CB與CB′的長(zhǎng)度相
B · 
· 
A l 
B 
A 
l 
C 
B 
A 
l 
B · 
圖4 
l 
A 
· 
 
                    
             
                    
                             
4 
等？ 
(問(wèn)題2)你能利用軸對(duì)稱(chēng)的有關(guān)知識(shí)，找到符合條件的點(diǎn)B′嗎？ 
學(xué)生獨(dú)立思考，嘗試畫(huà)圖，尋找符合條件的點(diǎn)，然后小組交流，學(xué)生代表匯報(bào)交流結(jié)果，教師適時(shí)使用幾何畫(huà)板進(jìn)行演示說(shuō)明，師生共同補(bǔ)充．得出：只要作出點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，就可以滿足CB′＝CB(圖5)．再利用(1)的方法，連接AB′，則AB′與直線l的交點(diǎn)即為所求． 
學(xué)生敘述，教師板書(shū)，并畫(huà)圖(圖5)，同時(shí)學(xué)生在自己的練習(xí)本上畫(huà)圖． 
作法：(1)作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′； (2)連接AB′，與直線l相交于點(diǎn)C． 則點(diǎn)C即為所求． 
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)搭建臺(tái)階，為學(xué)生探究問(wèn)題提供“腳手架”，將“同側(cè)”難于解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“異側(cè)”容易解決的問(wèn)題，滲透轉(zhuǎn)化思想． 
3．證明“最短” 
問(wèn)題3：你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC＋BC最短嗎？ 
師生活動(dòng)：師生共同分析，然后學(xué)生說(shuō)明證明過(guò)程，教師幾何畫(huà)板演示： 證明：如圖6，在直線l上任取一點(diǎn)C′(與點(diǎn)C不重合)，連接AC′，BC′，B′C′． 
由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)知，BC＝B′C，BC′＝B′C′． ∴ AC＋BC＝AC＋B′C＝AB′，AC′＋BC′＝AC′＋B′C′． 
在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′， ∴ AC＋BC＜AC′＋BC′． 即AC＋BC最短． 
追問(wèn)1：證明AC＋BC最短時(shí)，為什么要在直線l上任取一點(diǎn)C′(與點(diǎn)C不重合)，證明AC＋BC＜AC′＋BC′？這里的“C′”的作用是什么？ 
師生活動(dòng)：學(xué)生相互交流，教師適時(shí)點(diǎn)撥，最后達(dá)成共識(shí)：若直線l上任意一點(diǎn)(與點(diǎn)C不重合)與A，B兩點(diǎn)的距離和都大于AC＋BC，就說(shuō)明AC＋BC最小． 
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)作法的正確性，提高邏輯思維能力． 
追問(wèn)2: 回顧前面的探究過(guò)程，我們是通過(guò)怎樣的過(guò)程、借助什么解決問(wèn)題的？ 
A 
B 
l B' C 
圖5 
A 
l B' 
C 
C' B 圖6 
 
                    
             
                    
                             5 
師生活動(dòng)：學(xué)生回答，并相互補(bǔ)充． 
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在反思的過(guò)程中，體會(huì)軸對(duì)稱(chēng)的“橋梁”作用，感悟轉(zhuǎn)化思想，豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)． 
鞏固訓(xùn)練：已知：P、Q是△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，你能在BC上確定一點(diǎn)R，         使△PQR的周長(zhǎng)最短嗎？ 
 
師生活動(dòng)：學(xué)生分析解題思路，并相互補(bǔ)充，然后獨(dú)立完成，小組內(nèi)進(jìn)行交流。小組派代表學(xué)生到展臺(tái)前展示。 
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固解決最短路徑問(wèn)題的基本策略和基本方法． 4．小結(jié) 
請(qǐng)學(xué)生談?wù)劚竟?jié)課的收獲。 
在學(xué)生總結(jié)的基礎(chǔ)上，教師與學(xué)生共同梳理本節(jié)課收獲。 
 
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生把握研究問(wèn)題的基本策略、基本思路和基本方法，體會(huì)軸對(duì)稱(chēng)在解決最短路徑問(wèn)題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想的重要價(jià)值．  
5．布置作業(yè)

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