視頻標簽：勾股定理的應用,空間最短,路徑問題

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視頻課題：初中數學人教版八年級下冊第十七章《勾股定理的應用—空間最短路徑問題》陜西

教學設計、課堂實錄及教案：初中數學人教版八年級下冊第十七章《勾股定理的應用——空間最短路徑問題》陜西

《勾股定理的應用——空間最短路徑問題》教學設計 
教材地位及作用   
  本節是是在學生學習了勾股定理的基礎上進行的，是對勾股定理在生活中應用
廣泛性的初步認識。因此在教學中既要注重知識的前后聯系，也要體現知識的實用性、趣味性和創新性特點。而在這些具體問題的解決過程中，需要經歷幾何圖形的抽象過程，需要借助觀察、操作等實踐活動，這些都有助于發展學生的分析問題、解決問題能力和應用意識；探究活動具有一定的難度，需要學生相互間的合作交流，有助于發展學生合作交流的能力． 
教學目標： 
【知識與技能】 
1.掌握勾股定理的簡單應用，探究最短路徑問題； 
2. 學會觀察圖形，勇于探索圖形間的關系，培養學生的空間觀念． 【過程與方法】 
1.經歷運用勾股定理解決實際問題的過程，在數學活動中發展學生的探究意識和合作交流的習慣. 
2.在將實際問題抽象成幾何圖形過程中，學會觀察圖形，提高分析問題、解決問題的能力及滲透數學建模的思想。 【情感、態度與價值觀】 
1．通過有趣的問題提高學習數學的興趣．   
2.培養學生運用所學知識解決實際問題的意識，增強學生的數學應用能力.通過與同伴交流，培養協作與交流的意識； 
3.敢于面對數學學習中的困難，增加遇到困難時選擇其他方法的經驗，進一步體會數學的應用價值，發展運用數學的信心和能力，初步形成積極參與數學活動的意識． 
教學重點： 
1.能熟練運用勾股定理解決實際問題，掌握最短路徑問題； 2.探索空間與平面圖形之間的關系. 
教學難點： 
熟練運用勾股定理解決最短路徑實際問題，增強學生的數學應用能力. 
關鍵點：引導學生將實際問題抽象成幾何圖形，滲透建模思想。 課前準備： 
制作正方體、長方體、圓柱等教具. 
教法方法： 
互動式教學、合作探究學習. 
                            教學過程： 
一、復習舊知，引入新課 出示圖片 
老師最近在我們學校發現了一種奇怪的現象，花園靠近路口的一角被沿對角線踏出了一條“斜路”，請問同學們： 
（1）他們為什么要走“斜路”呢？ 
（2）假設它是一塊長方形花園，這些同學為了避開拐角走“捷徑”， 請計算他們僅僅少走了________步路, 卻踩傷了花草。 （假設1米為2步） 
 [設計意圖]：通過情景復習公理：兩點之間線段最短；通過勾股定理的運用，對學生進行社會公德教育，體現了數學教學的德育意義. 
二、情境引入， 活動探究  活動一：自主探究 
 (1) 在一個圓柱石凳上，若小明在吃東西時留下了一點食物在B處，恰好一只在A處的螞蟻捕捉到這一信息，于是它想從A 處爬向B處，你們想一想，螞蟻怎么走最近？    
 (2) 已知圓柱的高為9，半徑為4，（π取3）。求最近路徑。                   
 
 
 
（畫畫看，螞蟻從A點到B點的最短路徑） 
讓學生發現：圓柱體側面展開后得到矩形的長和寬與圓柱體的關系。研究“螞蟻怎么走最近”就是研究兩點連線最短問題，先引導學生在展開圖中正確找到點B的位置，再利用勾股定理求解。 
（2）解：將圓柱如圖側面展開， 
由題意得AC＝9，BC＝2πr×0.5=πr=3×4＝12 在RT△ABC中，根據勾股定理： 
 ∵ AB2 ＝ AC2＋BC2 =92+122=81+144=225=152 ∴AB＝15 
答:螞蟻爬行的最短路程是15cm.  
[設計意圖]： 從學生熟悉的生活場景引入，提出問題，激發學生探究熱情，為下一環節奠定了良好基礎．  
活動二：合作探究  
 
 如圖，一只螞蟻沿著邊長為1的正方體盒子的表面從點A爬到點B，需要爬行的最短距離是多少？提問：螞蟻可行的路線可能不止一條，你能找出幾種出來？ （學生以小組為單位，合作探究螞蟻爬行的最短路線.） 
學生以小組為單位，合作探究螞蟻爬行的最短路線，充分討論后，匯總各小組的方案，和路線計算方法，通過具體計算，總結出最短路線。           
同學們展開自己的空間想象能力，把正方體沿棱展開，根據“兩點之間，線段最短”，以便發現最短路程.在上面的幾種路線圖中利用勾股定理易得最短路線5AB，所以螞蟻爬行的最短路程為5. 
[設計意圖]：通過學生的合作探究，先確定最短路徑。找到解決“螞蟻怎么走最近”的方法，將曲面最短距離問題轉化為平面最短距離問題并利用勾股定理求解．在活動中體驗數學建摸，培養學生與人合作交流的能力，增強學生探究能力，操作能力，分析能力，發展空間觀念．   
活動三：階段小結 
歸納求空間最短路徑長度的解決步驟： （1）確定最短路徑 
 方法：將運動所經過的外表面展開 
最短路徑就是在展開平面內兩點間的線段 （2）求線段長度 
方法：利用勾股定理求斜邊 
 
活動四：合作探究 在長40cm、寬30 cm、高50 cm的木箱中，螞蟻在箱內的A處，它要在箱壁上爬行到B處，至少要爬多遠？分組活動，代表發言. 
 
                    
             
                    
                             
有了活動二的探究經驗，學生很容易在解決問題的時候進行分類討論.若把長方體的6個面分別稱為上面、下面、前面、后面、左面、右面。 
顯然，從A到B的最短路線一定是從A出發，經過長方體兩個面到達B.具體來說，它可能有“前上”、“前右”、“左上”、“左后”、“下右”、“下后”6種不同的情況（當然，“下右”、“下后”2種情況，在實際問題中不具有可行性）.在這6種情況中，共有3種長度結果：充分討論后，匯總各小組的方案畫出最短路徑的展開圖并討論每種方案的路線計算方法，通過具體計算，總結出最短路線。 
 
第一種結果：(“前右”與“左后”) 如①圖所示22(4030)507400AB 
第二種結果：(“前上”與“下后”) 如②圖所示22(5030)408000AB 
第三種結果：（“左上”、“下右”） 如③圖所示22(5040)309000AB 綜上所述，最短路程應為7400=1074 
[設計意圖]：從不同情況的分析，學生可以感受到數學的學習需要全面的考慮問題，反過來，數學的學習又能幫助我們全面的考慮問題。那么讓學生共同努力，學好數學，從而更全面的去考慮、看待生活中的問題. 
總結提升： 
給出一個長方體，設它的長、寬、高分別是a、b、c，且a<b<c.將其展開，可以得到以下三種情況： 
 
 
                    
             
                    
                             
螞蟻沿著長方體表面從A爬到B的最短距離的平方分別是： 
 
三、鞏固練習 
1. 一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于5cm，3cm和1cm，A和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物.請你想一想，這只螞蟻從A點出發，沿著臺階面爬到B點，最短線路是多少？ 
 
 
2．如圖，在棱長為10cm的正方體的一個頂點A處有一只螞蟻，現要向頂點B處爬行，已知螞蟻爬行的速度是1cm/s，且速度保持不變，問螞蟻能否在20s內從A爬到B？ 
              
3.有一圓柱形食品盒，它的高等于16cm，底面直徑為20cm， 螞蟻爬行的速度為2cm/s.如果在盒內下底面的A處有一只螞蟻，它想吃到盒內對面中部點B處的食物，那么它至少需要多少時間? (盒的厚度和螞蟻的大小忽略不計，結果可含π) 
五、課堂小結 
通過這節課的學習談談你的收獲： 六、作業布置 
1.改編螞蟻怎樣走最近的情景，如一滴蜂蜜 在圓柱體內部„„等等，嘗試解決問題。 
2.尋找生活中應用勾股定理的例子，改編成應用題并解決。

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