視頻標(biāo)簽：導(dǎo)數(shù)的計算

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：人教A版高二數(shù)學(xué)選修2-2第一章導(dǎo)數(shù)的計算（二）四川省 - 攀枝花

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教學(xué)設(shè)計——導(dǎo)數(shù)的計算（二） 
 
 
一、教材分析 
１．教材背景 
導(dǎo)數(shù)的計算是在學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義，掌握了研究導(dǎo)數(shù)的一般思路之后，學(xué)習(xí)的一個重要的基本計算規(guī)則，它是《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》一章的重要內(nèi)容．本節(jié)內(nèi)容分三課時完成，第一課時學(xué)習(xí)幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；第二、三課時為基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運算法則，本課為第二課時． 
２．本課的地位和作用 
本節(jié)內(nèi)容既是導(dǎo)數(shù)定義的深化，又是今后學(xué)習(xí)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的基礎(chǔ)，具有非常高的實用價值，在教材中起到了承上啟下的關(guān)鍵作用。在導(dǎo)數(shù)計算的研究過程中重新溫習(xí)了高一所學(xué)的基本初等函數(shù)知識，通過學(xué)習(xí)可以幫助學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)，達(dá)到知識的螺旋式上升的目的，培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)應(yīng)用意識，增強學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣． 二、重難點分析 
根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)及對教材的分析，確定本節(jié)課重難點如下：  重點： 1、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運算法則及其應(yīng)用; 
2、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法：復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)
對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)之積． 
難點：  1、正確運用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運算法則； 
 
                    
             
                    
                             
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2、正確分解復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程，做到不漏，不重，熟練． 
三、目標(biāo)分析 
１．知識技能目標(biāo) 
熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運算法則；理解并掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則． 
２．過程性目標(biāo) 
通過自主探索，增加實用性，降低理論性，注意概念、性質(zhì)的實際引入，注重知識的發(fā)生、發(fā)展過程，弱化甚至刪除嚴(yán)格的公式推導(dǎo)過程． 
３．情感、價值觀目標(biāo) 
讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)問題探索的樂趣和成功的喜悅，體會數(shù)學(xué)的理性、嚴(yán)謹(jǐn)，展現(xiàn)數(shù)學(xué)實用價值及其在社會進(jìn)步、人類文明發(fā)展中的重要作用． 四、學(xué)情分析 
１．有利因素 
學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的定義、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，已經(jīng)掌握了研究導(dǎo)數(shù)的一般思路，對于本節(jié)課的學(xué)習(xí)會有很大幫助． 
２．不利因素 
本節(jié)內(nèi)容公式、法則較多，對公式、法則的記憶和對復(fù)合函數(shù)的理解有一定困難，學(xué)生學(xué)習(xí)起來有一定難度． 五、教法學(xué)法 
根據(jù)對教材、重難點、目標(biāo)及學(xué)生情況的分析，本著教法為學(xué)法服務(wù)的宗旨，確定以下教法、學(xué)法： 
探究發(fā)現(xiàn)式教學(xué)法、自主學(xué)習(xí)法、小組合作，并利用多媒體輔助教學(xué)。遵循“以學(xué)生為主體、教師是數(shù)學(xué)課堂活動的組織者、引導(dǎo)者和參與者”的現(xiàn)
 
                    
             
                    
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代教育原則。依據(jù)本節(jié)為公式應(yīng)用的特點，以問題的提出、問題的解決為主線，始終在學(xué)生知識的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)置問題，倡導(dǎo)學(xué)生主動參與，通過不斷探究、發(fā)現(xiàn)，在師生互動、生生互動中，讓學(xué)習(xí)過程成為學(xué)生心靈愉悅的主動認(rèn)知過程． 六、教學(xué)過程設(shè)計 
復(fù)習(xí)舊知→新課引入→探索新知→知識擴展→課堂練習(xí)→課堂小結(jié)→課后作業(yè) 
 
七、教學(xué)過程 
１．復(fù)習(xí)舊知 
幾種常用導(dǎo)數(shù)的公式是什么？  〈一〉基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表           
函數(shù) 
導(dǎo)數(shù) 
yc（c是常數(shù)） 
'0y ()()nyfxxnR 
'1nynx 
sinyx 'cosyx cosyx 
'sinyx ()xyfxa 'ln(01)xyaaaa且 
()xyfxe 'xye 
()logafxx 
'1
()(01)lnfxaaxa
且 ()lnfxx 
'1()fxx

 
                    
             
                    
                             
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〈二〉導(dǎo)數(shù)的運算法則（1）  
導(dǎo)數(shù)運算法則 
1．'
''()()()()fxgxfxgx 2．'''()()()()()()fxgxfxgxfxgx 
3．
'
''2
()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx  
（2）推論：'
'()()cfxcfx 
          （常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導(dǎo)數(shù)） 
２．新課引入 
 觀看公益廣告視頻解答下面兩個問題： 
問題1：假如y是奶奶，ｕ是媽媽，ｘ是你，那么y與x的函數(shù)關(guān)系式為     問題2： 函數(shù)1sinxyex的導(dǎo)數(shù)怎樣求？(溫馨提醒如果用導(dǎo)數(shù)的定義求此函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其過程十分復(fù)雜，這就有必要探討更便捷的求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的途徑，通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，我們就能找到這種便捷的途徑，求解本題的關(guān)鍵在于對復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則的正確運用。)  
提問：y=eu與u=x-1兩個函數(shù)的解析式有何關(guān)系？ 
答：函數(shù)解析式是由y對u外層函數(shù)y=eu與u對x內(nèi)層函數(shù)u=x-1復(fù)合而成。 
３．探索新知 〈一〉復(fù)合函數(shù)的概念 
       一般地，對于兩個函數(shù)()yfu和()ugx，如果通過變量u，y可以表
 
                    
             
                    
                             
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示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)()yfu和()ugx的復(fù)合函數(shù)，記作
()yfgx。 
復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：  復(fù)合函數(shù)()yfgx的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)()yfu和
()ugx的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為xuxyyu，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對
x的導(dǎo)數(shù)的乘積． 
若()yfgx，則()()()yfgxfgxgx
 教師組織學(xué)生分組討論4-5分鐘，隨后各小組推薦成員展示與分組點評，教師作指導(dǎo) 〈二〉典例探究 
知識點1：利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)數(shù) 
例1  若2,0
(),cos,0
xxfxxx則(1)f=                   ，(2)f=                  
思路分析：()fx是分段函數(shù)，可分0x和0x兩種情況分別對()fx進(jìn)行求導(dǎo)，然后將1x和2x代入相應(yīng)的()fx的表達(dá)式，即可得(1)f和(2)f的值。 解：當(dāng)x0時，2(),()2fxxfxx；當(dāng)0x時，()cos,fxx()sinfxx，故 
(1)2,(2)sin(2)sin2ff。 
診斷分析：解答本題的關(guān)鍵是將()fx進(jìn)行分段求導(dǎo)，理解和掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式是求解本題的前提條件。 
變式1   若3()fxx，則(1)f等于               知識點2：導(dǎo)數(shù)運算法則的應(yīng)用 例2  求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （1）sincos22
xxyx； （2）1
(1)(
1)yxx
； 
                    
             
                    
                             
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（3）1
1
xyx
 思路分析：仔細(xì)觀察和分析各函數(shù)的結(jié)構(gòu)規(guī)律，緊扣求導(dǎo)運算法則，聯(lián)系基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式，不具備條件的可進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮愕茸冃巍?nbsp;解：（1）1sincossin,222
x
xyxxx 
   11sin1cos22yxxx

 
（2） 先化簡，11
2211
1yxxxxxx， 
13
2
21111(1)222yxxxx

 （3） 因為1122
1111
xxyxxx
， 所以
22
222(1)2(1)2111(1)1xxyxxxx
。 診斷分析：①求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等變形對函數(shù)進(jìn)行化簡，然后求導(dǎo)，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯； 
②有的函數(shù)雖然表面形式為函數(shù)的商的形式，但在求導(dǎo)前利用代
數(shù)或三角恒等變形將函數(shù)先化簡，然后進(jìn)行求導(dǎo)，可以避免使用商的求導(dǎo)法則，減少運算量。 
變式2  求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 
（1）3(34)(21)yxxx；              （2）2
1x
yxx 
知識點3：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的應(yīng)用 例3   求下面函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 
（1）cosxye；      （2）ln(23)yx；    （3）3(sin)yaxbx 
思路分析：求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，關(guān)鍵在于分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，選好中間變量，同時，正確運用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，即復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)，等于
 
                    
             
                    
                             
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已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)。 解：（1）設(shè),cos,uyeux則cos()(cos)sinsinuuxyexxexe 
   （2）函數(shù)ln(23)yx可以看作函數(shù)ln23yuux和的復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則有：1
2
(ln)(23)223
xuxyyuuxu
x
 （3）3(sin)yaxbx是由函數(shù)3,sinyuuaxbx復(fù)合而成的， 
3
2
2
(sin)3(cos)3(sin)(cos)yuaxbxuabxaxbxabx 
診斷分析：對于解析式較復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，若先化簡然后再對其求導(dǎo)則過程會更簡潔，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的一般步驟為：分析-------求導(dǎo)-------回代 變式3    求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 
（1）sin3yx；       （2）3yx；       （3）44sincosyxx     ４、知識擴展 
牛頓法——用導(dǎo)數(shù)方法求方程的近似解 
人們很早以前就開始探索高次方程的數(shù)值求解問題。 牛頓（IssacNewton,1842-1727）在《流樹法》一書 中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法——牛頓法。 
這種求方程根的方法，
在科學(xué)界已被廣泛采用。 
32()21020fxxxx 
O 
y 
r 
x 
0x 1x2x 
                    
             
                    
                             
第7頁 
下面，我們看看如何求方程x3+2x2+10x-20=0的根。從函數(shù)的觀點看，方程x3+2x2+10x-20=0的根就是函數(shù)f(x)=x3+2x2+10x-20=0的零點，從圖形上看，一個函數(shù)的零點ｒ就是函數(shù)f(x)的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)． 
如何求r的值呢？ 
如果可以找到一步一步逼近r的點x0,x1,x2,…，xn.使得|xn-r|很小很小，那么，我們就可以把xn的值作為r的近似值，即把xn作為f(x)=0方程的近似解。 
牛頓用“作切線”的方法找到了這一串x0,x1,x2,…，xn，當(dāng)然，要有一個起始點，比如，我們從x0=4開始. 
在x0=4處作f(x)的切線，切線與軸的交點就是x1；用x1代替x0重復(fù)上面的過程得到x2；一直繼續(xù)下去，得到x0,x1,x2,…，xn，從圖形上我們可以看到，x1較x0接近r，較x1接近r，等等。它們越來越逼近。接下來的任務(wù)是計算xn。我們知道，在點處切線的斜率是f′(x0)，因此切線方程是
000()yfxfxxx  如果00fx，那么，切線與x軸的交點是 
           

0100fxxxfx
 繼續(xù)這個過程，就可以推導(dǎo)出如下求方程根的牛頓法公式：如果
10nfx， 
       那么

111nnnnfxxxfx
 請同學(xué)們自己推導(dǎo)。 
對于一個給定的精確度，我們可以根據(jù)上述公式，求出方程
32210200xxx 
 
                    
             
                    
                             
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的近似解。下面，我們給出牛頓法的算法框圖，同學(xué)們可以根據(jù)它編一個程序，讓計算機幫你完成計算任務(wù)。 
       
思考: 
1、 不同的初始值對求方程的近似解有影響嗎？如果有，影響在什么地方？ 
2、 你還知道其他求方程近解的方法嗎？你認(rèn)為牛頓法的優(yōu)點和缺點是什么？ 
注意：知識擴展內(nèi)容不作為課堂講解內(nèi)容，只是供學(xué)有余力的同學(xué)進(jìn)行探究
No 
Yes 
給定精度0Z和初始值0x 
根據(jù)牛頓法公式計算當(dāng)前值： 
32000102
0021020
3410
xxxxxxx計算當(dāng)前精度：
10
0
xxZx 令01xx 
0ZZ 
1x為方程的近似解 
求解結(jié)束 
 
                    
             
                    
                             
第9頁 
與發(fā)現(xiàn)。 
5．課堂小結(jié) 
設(shè)問：本課我們主要學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？應(yīng)當(dāng)注意些什么？ 1、理論知識點 
（1）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；  （2）導(dǎo)數(shù)的四則運算法則；  （3）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。 2、方法與技巧 
（1）熟練掌握導(dǎo)數(shù)基本公式，仔細(xì)觀察和分析各函數(shù)的結(jié)構(gòu)規(guī)律，選擇合適基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式進(jìn)行求導(dǎo)； 
（2）不具備求導(dǎo)法則條件的，一般要遵循先化簡，再求導(dǎo)的原則，適當(dāng)進(jìn)行恒等變形，步步為營，使解決問題水到渠成。 
（3）求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一般是運用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，將問題轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來解決，其主要步驟為： 
①分析清楚復(fù)合函數(shù)的復(fù)合關(guān)系是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的，選定適當(dāng)中間變量； 
②分步計算中的每一步都要明確是對哪個變量求導(dǎo)，而其中特別要注意的是中間變量的關(guān)系； 
③根據(jù)基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運算法則，求出各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)，堅持由外向內(nèi)，逐層求導(dǎo)，并保持各層之間不重復(fù)不遺漏。復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)熟練以后，中間步驟可以省略，不必再寫出函數(shù)的復(fù)合過程。 
6．課后作業(yè)

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