視頻標簽：組合數的性質

所屬欄目：高中數學優質課視頻

視頻課題：人教A版高二數學選修2-3第一章1.2.2組合數的性質-四川省優課

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1.2.2組合數的性質教學設計 
一、教材的地位和作用 
本節課是選修2-3第一章計數原理的第二節組合的內容。“組合數的兩個性質”是學生學習了排列、組合以及組合數公式等知識的基礎上提出來的,與數學歸納法有內在的聯系。通過性質的學習,一方面可以加強組合數公式的計算、變形能力簡化組合數的計算。另一方面也為以后學習《二項式定理》等內容提供了理論基礎。故組合數性質是一個承上啟下的內容。同時,本課題能使學生掌握特殊到一般和一般到特以及觀察、猜想、歸納的思想方法;對培養學生觀察、析、綜合、抽象和概括的能力有重要作用。 
二、學生情分析 
 從學生的認知角度來看,學生很容易在應用性質2的公式時出錯,因為抽象成為形式(及其符號的演算)的數學,雖然很簡潔,也具有很大的一般性(從而有它的廣泛應用性),但會給學生帶來了領悟與學習上的困難,所以理解和領悟性質2的本質成為本節課學生學習的難點,對學生的思維是一個挑戰。 
另外教學對象是高二的學生,雖然具有一定的分析問題和解決問題的能力,邏輯思維能力也初步形成,但由于年齡及職高生數學基礎等原因,思維盡管活躍、敏捷,卻注意力分散,缺乏冷靜、深刻,因而片面不夠嚴謹。 
三、教學目標： 
1、知識與技能 
(1)掌握組合數的兩個性質,并能運用組合數的性質解決一些實際問題; 
(2)培養學生發現知識、應用知識的能力,培養獨立分析問題解決問題的能力,養成良好思維與學習習慣。 2、過程與方法 
根據本節課的內容和學生的實際水平,通過具體的實例觀察、分析,歸納總結出組合數的兩個性質,培養學生從特殊到一般的重要思想方法。 
3、情感、態度與價值觀 
從具體實例入手,幫助學生領悟數學是來源于生活并服務于生活的思想,激發學生的學習興趣和學好數
 
      學的信心從而更加熱愛數學。鼓勵學生通過觀察類比提高發現問題、 分析問題、解決問題的能力,增強學生數學思維情趣,形成學習數學知識的積極態度 
四、教學重點和難點： 
重點:組合數的兩個性質及其應用。 
難點:組合數兩個性質的理解及靈活應用(特別是第二個性質的理解與應用)   
五、教法學法分析 
1、教法分析 
由于性質本身比較簡單,其發現過程易于組織成師生互動的教學活動,故教學方法以啟發學生觀察思考分析討論為主,兩個性質的得出均采用由特殊到一般、由具體到抽象的方法,讓學生經歷知識的形成、發展過程,幫助學生認識數學的本質。另外,采用多媒體輔助教學,直觀呈現素材,激發學生興趣,提高教學效率。 
2、學法分析 
 學生在教師創設的問題情景中,通過觀察、分析、思考、探究、概括、歸納得出性質,體了學生的主體地位,培養了學生由具體到抽象,由特殊到一般的數學思維能力,形成了實事求是的科學態度,增強了鍥而不舍的求學精神。 
六、  教學過程分析 
一、復習引入： 
12組合的概念：一般地，從n個不同元素中取出mmn個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合 
說明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——無序性；⑶相同組合：元素相同 
2．組合數的概念：從n個不同元素中取出mmn個元素的所有組合的個數，叫做從n 個不同元素
中取出m個元素的組合數．．．
．用符號m
nC表示． 3．組合數公式的推導： 
 
                    
             
                    
                            （1）一般地，求從n個不同元素中取出m個元素的排列數m
nA，可以分如下兩步：① 先求從n個不同元素中取出m個元素的組合數mnC；② 求每一個組合中m個元素全排列數mmA，根據分步計數原理得：mnA＝mnCm
m
A． （2）組合數的公式： 
(1)(2)(1)
!
mmnn
mmAnnnnmCAm
或!
!()!
mn
nCmnm
)
,,(nmNmn且【來源：全品…中&高*考*網】
 
二、講解新課： 
探究一：組合數的性質1 
引例1：計算兩個組合數7
10C；3
10.C 
問題1：為何上面兩個不同的組合數其結果相同？怎樣對這一結果進行解釋？ 
   從10個元素中取出7個元素后，還剩下3個元素，就是說，從10個元素中每次取出7個元素的一個組合，與剩下的(10-7)個元素的組合是一一對應的。因此，從10個元素中取7個元素的組合，與從這10個元素中取出(10-7)個元素的組合是相等的。 
即：=7
107
31010
10
CCC. 問題2：上述情況加以推廣可得組合數怎樣的性質？ 
一般地，從n個不同元素中取出m個元素后，剩下nm個元素．因為從n個不同元素中取出m個元素的每一個組合，與剩下的n - m個元素的每一個組合一一對應．．．．
，所以從n個不同元素中取出m個元素的組合數，等于從這n個元素中取出n - m個元素的組合數，即：m
nn
mnCC．在這里，主要體現：“取法”與“剩法”是“一一對應”的思想 
證明：∵)!
(!!
)]!([)!(!mnmnmnnmnnCmnn

 又 )!
(!!mnmnCm
n
，∴mnnmnCC 
總結： 
 
                    
             
                    
                            組合數的性質1：m
nnmnCC． 說明：①規定：10nC； 
②等式特點：等式兩邊下標同，上標之和等于下標； 
③ynx
nCCyx或nyx． 
探究二：組合數的性質2  
引例2 :一個口袋內裝有大小相同的7個白球和1個黑球 ①從口袋里取出3個球，共有多少種取法？ 
②從口袋里取出3個球，使其中含有一個黑球，有多少種取法？ ③從口袋里取出3個球，使其中不含黑球，有多少種取法？ 
答案：①=3856C；②=2721C；③=353
7C. 從引例中可以發現一個結論：=332877
CCC. 對上面的發現(等式)作怎樣解釋？ 
一般地，從121,,,naaa這n+1個不同元素中取出m個元素的組合數是mnC1，這些組合可以分為兩類：
一類含有元素1a，一類不含有1a．含有1a的組合是從132,,,naaa這n個元素中取出m 個元素與1
a組成的，共有1mnC個；不含有1a的組合是從132,,,naaa這n個元素中取出m個元素組成的，共有mn
C個．根據分類計數原理，可以得到組合數的另一個性質．在這里，主要體現從特殊到一般的歸納思想，“含與不含其元素”的分類思想． 
2．組合數的性質2：mnC1＝mnC+1mn
C．  1
!!
!()!(1)![(1)]!mmnn
nnmnmmnmCC
證明：  
!(1)!(1)!
!(1)!!(1)!nnmnmnmmnmnmmnm
 
1(1)!.![(1)]!
m
nnmnmC
 
 
                    
             
                    
                            1
1.mmm
nn
nCCC 
三、典例分析 
例1：計算+23332
9999898
(1);(2)2CCCCC 例2：求證 
111111112(1);(2)2mmmmmmmmnnnnnnnnCCCCCCCC 
課堂練習 
1、把6個學生分到一個工廠的三個車間實習，每個車間2人，若甲必須分到一車間，乙和丙不能分到二車間，則不同的分法有                  種 。 
2、從6位同學中選出4位參加一個座談會，要求張、王兩人中至多有一個人參加，則有不同的選法種數為        種。 
四、課堂小節 
本節課學習了組合數的兩個性質： 
組合數的性質1：mnnmnCC． 組合數的性質2：mnC1＝mnC+1mn
C． 五、作業布置 
1、要從8名男醫生和7名女醫生中選5人組成一個醫療隊，如果其中至少有2名男醫生和至少有2名女醫生，則不同的選法種數為（        ） 
323
28778.()()ACCCC    32328778.()()BCCCC       
32328778.CCCCC     321
8711.DCCC 2、從7人中選出3人分別擔任學習委員、宣傳委員、體育委員，則甲、乙兩人不都入選的不同選法種數共有（    ） 
2353.ACA      33
53.2BCA           3
5.CA             233535.2DCAA

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