視頻標簽：河南省,算術平方根

所屬欄目：初中數學優質課視頻

視頻課題：河南省中學（初中B組）優質課大賽視頻（附課件）《算術平方根》孫 旭

教學設計、課堂實錄及教案：河南省中學（初中B組）優質課大賽視頻（附課件）《算術平方根》孫 旭

（一）內容
算術平方根的概念和計算.
（二）內容解析
本節分為三個課時，這是第一課時的新授課. 在學習本課之前，學生對乘方運算的本質以及加減乘除運算的互逆關系已有明晰的認識，并且具備了計算正方形等幾何圖形面積的能力.
本節課的開始設置了一個問題情境，把這個情境抽象成數學問題就是已知正方形的面積求正方形的邊長，這是典型的求算術平方根的問題，體現了“抽象”的數學思想；隨后通過解決幾個類似的問題，揭示問題的本質：已知一個正數的平方，求這個正數.這體現了“歸納”的數學思想；進而從具體到抽象地學習算術平方根的概念，體現了“從特殊到一般”的數學思想，同時在教學中，學生可以初步體會平方運算與開平方運算的互逆關系；此外，在對算術平方根的性質進行分析的過程中又體現了“分類”的數學思想.
通過本章的學習，將實現學生對數系的新擴充，即實現由“有理數”到“實數”的擴充.本節課是本章的第一課時，是學生后續學習平方根和實數的基礎，對全章乃至后面二次根式的學習都非常重要.
基于以上分析，確定本節課的教學重點是：算術平方根的概念和計算.
二、目標和目標解析
（一）目標
1.通過設置問題情境，讓學生認識到算術平方根與實際的聯系，理解算術平方根的意義.
2.了解算術平方根的概念，能夠用根號表示正數的算術平方根；了解算術平方根的非負性，能夠用平方運算求某些非負數的算術平方根.
3.通過學習算術平方根，使學生建立初步的數感和符號感，體會“抽象”、“歸納”、“從特殊到一般”、“分類”的數學思想，提高學生探究、歸納及概括的能力.
（二）目標解析
1.教師首先要讓學生體驗到“數學來源于生活”,認識到算術平方根與實際的聯系，感受到學習算術平方根的必要性.
2.算術平方根的概念和計算是本節課的重點，是“知識與技能”目標，同時也是實現其它目標的載體. 在教學過程中，學生也可以初步體會平方運算與開平方運算的互逆關系.
3.數學思想蘊涵在數學知識形成、發展和應用的過程中.只有認識到“隱藏”在具體數學知識背后的數學思想，才能更好地理解和掌握具體的數學知識，進而提高學生的探究、歸納及概括能力.
三、教學問題診斷分析                           
學生雖然對加減以及乘除運算的互逆關系已有明晰的認識，但還沒有接觸過乘方的逆運算，在初學算術平方根時，可能出現如下問題：
1．學生在歸納總結算術平方根的概念時，可能會因為忽略算術平方根的非負性，而得出“一般地，如果一個數的平方等于，即，那么這個數叫做的算術平方根.”的結果.
2．負數沒有算術平方根，這種對運算對象有限定要求的情況以前一般不會遇到，學生容易忽略被開方數的非負性.在解決“是不是所有的數都有算術平方根？”這樣的問題時，容易忘記分類討論.
3．在自主設計有關算術平方根題目的環節，學生可能會出現設計題目不夠嚴謹的現象：不寫題目要求，直接寫出需要計算的代數式.但對于同樣的代數式，在不同的要求下，計算所得的結果是不同的.
基于以上分析，確定本節課的教學難點是：對算術平方根的概念和雙重非負性的理解.
四、教學支持條件分析
在學習本節課之前，學生對乘方運算的本質以及加減乘除運算的互逆關系已有明晰的認識，也具備了計算正方形等幾何圖形面積的能力，可以說學生已經掌握了學習本節課的條件.根據本節課教材內容的特點，教學中利用多媒體創設問題情境，使教學內容具體化、清晰化；利用多媒體將主要問題分層推出，突出教學重點，分解突破難點 .多媒體的使用有效提高了課堂教學效率，也為師生互動、生生互動提供了較多的時間.
五、教學過程分析       
（一）創設情境
問題1：同學們，一般情況下，我們是如何計算正方形面積的？
【師生活動】邊長的平方.
教師追問（1）：如果知道一個正方形的邊長為5dm，那么這個正方形的面積是多少呢？
【師生活動】25dm².
教師追問（2）：反過來，如果知道一個正方形的面積，那么你能計算出這個正方形的邊長嗎？
【師生活動】能.
【設計意圖】從學生已有的知識出發，設計教學過程，旨在降低學生學習新知的難度，增強學生的自信心，提高課堂教學效率.
問題2：教材P40頁問題
學校要舉行美術作品比賽，小鷗想裁出一塊面積為25dm²的正方形畫布，畫上自己的得意之作參加比賽，這塊正方形畫布的邊長應取多少？
【師生活動】5dm.
教師追問（1）：說一說，你是怎樣算出來的？
【師生活動】因為5²=25，所以這個正方形畫布的邊長應取5dm.
教師追問（2）：如果想要裁出其他面積的正方形畫布，你能快速算出正方形畫布相應的邊長嗎？
【師生活動】能.
【設計意圖】已知正方形的面積求正方形的邊長，這是典型的求算術平方根的問題，設置此問題旨在讓學生理解算術平方根的意義，初步體會平方運算與開平方運算的互逆關系.
問題3：填表
 

正方形的面積/dm2	1	9	16	36
正方形的邊長/dm

 
【師生活動】通過這幾個類似問題的解決，揭示問題的本質：它們都是已知一個正數的平方，求這個正數的問題.
【設計意圖】通過一些具體的實例，滲透“抽象”、“歸納”的數學思想，旨在讓學生對算術平方根有一定的感性認識，了解問題的本質，為學習算術平方根的概念作鋪墊.
（二）探究新知
    問題4：5的平方是25,25叫做5的平方，反過來，5叫做25的什么呢？
    【師生活動】算術平方根.
問題5：請大家帶著下面三個問題自學教材P40頁：
1.什么是算術平方根？
2.算術平方根如何表示？
3.是不是所有的數都有算術平方根？
【師生活動】 一般地，如果一個正數的平方等于，即，那么這個正數叫做的算術平方根（arithmetic  square  root）.的算術平方根記為，讀作“根號”， 叫做被開方數（radicand）.
    規定：0的算術平方根是0.
【設計意圖】問題的分層提出，旨在有效突出重點，分解突破難點，引導學生自主學習和討論，從具體到抽象地給出算術平方根的概念，滲透“從特殊到一般”的數學思想.
（三）應用新知
問題6：教材P40頁
例1 求下列各數的算術平方根：
（1）；    （2）；    （3）.
【師生活動】教師引導學生從平方運算與開平方運算互為逆運算的角度解題.教師規范書寫格式，提示學生觀察被開方數及對應的算術平方根，引導學生得出“被開方數越大，對應的算術平方根也越大”的結論.
【設計意圖】強化學生對算術平方根概念的認識.
問題7：例2 判斷下列說法是否正確，并說明理由：
    （1）25的算術平方根是5；
（2）2是的算術平方根；
（3）-1是1的算術平方根；
（4）任意一個有理數都有算術平方根.
【師生活動】學生根據算術平方根的概念進行判斷，獨立思考后交流討論，學生代表回答.
【設計意圖】例2通過對算術平方根概念的辨析，旨在強化學生對算術平方根概念的理解,明確分類討論的數學思想.
（四）目標檢測
問題8：說出下列各式的意義，并求出它們的值：
（1）；    （2）；    （3）；    （4）.
【師生活動】學生回答并求值.
【設計意圖】通過運用數學符號表示算術平方根的運算，旨在強化學生對算術平方根概念的理解，培養學生的數學符號感.
問題9：如果你是老師，請參照教材例題及練習題，給同學們設計3道有關算術平方根的題目.（被開方數限100以內）
相關的題目要求：
（1）求下列各數的算術平方根；
    （2）判斷下列說法是否正確，并說明理由；
（3）說出下列各式的意義，并求出它們的值.
    【師生活動】學生獨立思考，設計完成，請學生代表展示.在課余時間，班級中數學學習能力較強的同學協助數學課代表將其他學生設計的題目整理成卷，以備數學小競賽使用.
【設計意圖】設計此環節可以充分發揮學生學習的主體能動性，增加學生的課堂參與度.在深化學生對算術平方根這一概念理解的同時，又可以提高學生的表達能力及探究知識的能力,最終幫助學生實現由“理解知識”到“掌握數學技能”的飛躍.
 （五）歸納小結
教師引導學生回顧本節課學習的主要內容，并請學生回答問題10.
問題10：在解決有關算術平方根的問題中，我們應該注意哪些問題？
【設計意圖】通過歸納小結，旨在使學生所學的知識條理化、系統化，幫助學生反思梳理存在的問題并盡可能解決，培養學生歸納總結和反思的學習習慣.
 （六）布置作業
作業1：在課余時間，班級中數學學習能力較強的同學協助數學課代表將問題9中其他學生設計的題目整理成卷，以備數學小競賽使用.
作業2：學校要舉行美術作品比賽，小鷗想裁出一塊面積為2m²的正方形畫布，畫上自己的得意之作參加比賽，這塊正方形畫布的邊長應取多少？
【師生活動】m.
探究：有多大？
【設計意圖】分層設計作業,尊重學生的個體差異，為不同學生的發展創造條件，為下節課的學習奠定基礎.同時作業2的設計讓學生感受到“數學不但源于生活，也服務于生活”.

6.1.1算術平方根   算術平方根相關 概念和結論

課件展示區

例題和 習題板演區

附【板書設計】：
六、教學設計說明
本節課緊緊圍繞“算術平方根的概念和計算”展開教學，從學生熟悉的“已知正方形的邊長求面積”的問題引入，到“什么樣的數才有算術平方根”問題的提出，環環相扣，逐步深入，將“抽象”、“歸納”、“從特殊到一般”、“分類”等數學思想融匯到問題的提出和師生互動的過程中.
對于算術平方根的概念、表示方法以及性質，教師通過三個問題的設置分層次解決，引導學生自主學習，交流討論，學生代表發言，歸納總結，有效地強調了重點，分解了難點，使學生的課堂主體地位得到很好地落實，也使得算術平方根的知識在學生頭腦中更為清晰.
目標檢測部分的第二個環節，學生以教師的身份，自主設計3道有關算術平方根的題目并請學生代表進行展示,充分調動了學生的積極性和主動性，既檢測了目標的達成度，又尊重了學生的主體地位.另外對于沒有展示的題目，由數學課代表結合班級中數學學習能力較強的同學,整理成卷以備班級數學小競賽使用.這樣的處理，提高了學生的參與意識，體現了分層教學和因材施教的原則，讓每一個學生的數學知識和能力都得到新的發展.
作業2的布置，與本節課開始創設的問題情境形成前后呼應.這一環節的設置和處理，讓學生感受到了“數學不但源于生活，也服務于生活”.“有多大？”問題的提出既能引起學生的探究興趣，也為下節課的學習做準備，保持了知識的前后連貫性.

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