視頻標簽：一次函數與不等式

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視頻課題：初中數學人教版八年級下冊第十九章一次函數與不等式-北京

教學設計、課堂實錄及教案：初中數學人教版八年級下冊第十九章一次函數與不等式-北京市第一O一中學 

一次函數與不等式 
 
教學目標： 
1.理解一次函數與一元一次不等式的關系，會用函數觀點解釋不等式及其解集的意義； 2.經歷用函數圖象表示不等式解集的過程，進一步體會“以形表示數，以數解釋形”的數形結 合思想； 
3.滲透由特殊到一般和轉化的數學思想方法，提高發現問題、分析問題、解決問題的能力。 教學重點與難點： 
理解一次函數與一元一次不等式（組）的關系，會用函數觀點解釋不等式的解集 教學過程： 【復習引入】 
PPT展示一組函數問題 
已知一次函數y=2x+2，求滿足下列條件時自變量的取值 (1)函數值為0                   (2)函數值為2 (3)函數值為4                   (4)函數值為m 
在上節課學習的基礎上，學生很自然地列出一元一次方程解決這組函數問題，繪制函數圖象𝑦=2𝑥+2，并且提問：用函數的觀點從函數“數”與“形”兩個角度對一元一次方程的解進行解釋。 
示例：2𝑥+2=0的解 
（1）“數”：求函數𝑦=2𝑥+2在𝑦=0時，自變量𝑥的值 （2）“形”：求直線𝑦=2𝑥+2與𝑥軸的交點橫坐標 【探索新知】 
PPT展示另一組函數問題 
已知一次函數y=2x+2，求滿足下列條件時自變量的取值 (1)函數值小于0                (2)函數值不小于2 (3)函數值大于4                (4)函數值不大于m 
類似于第一組問題的解決，學生很自然地列出一元一次不等式解決這組函數問題，結合函數圖象𝑦=2𝑥+2，并且提問：用函數的觀點從函數“數”與“形”兩個角度對一元一次不等式的解集進行解釋。  
一元一次不等式 
函數 
數 
形 
一元一次不等式2𝑥+2<0
的解 函數𝑦=2𝑥+2的函數值小于0時，自變量𝑥的取值范圍 
直線𝑦=2𝑥+2在𝑥軸的上
方部分的點的橫坐標 
改變不等號右側的數值 
一元一次不等式 
函數 
數 
形 
一元一次不等式2𝑥+2≤𝑚
函數𝑦=2𝑥+2的函數值小
直線𝑦=2𝑥+2在直線
 
                    
             
                    
                            的解 
于或等于m時，自變量𝑥的
取值范圍 
ym的交點和下方部分的
點的橫坐標的取值范圍 
抽象為一般形式，引導學生總結如何讓用函數觀點解釋任意一元一次不等式解集。 【小結】 
一元一次不等式 
函數 
數 
形 
一元一次不等式𝑎𝑥+𝑏>0（或<0） 𝑎≠0 的解 
函數𝑦=𝑎𝑥+𝑏函數值大于(或小于)0時，自變量𝑥的取
值范圍 
直線𝑦=𝑎𝑥+𝑏在𝑥軸的上方（或下方）部分的點的橫
坐標的取值范圍 
 
【學生活動】 
兩人一組，每人寫出一個一元一次不等式，對方從函數角度給出解釋，并求解。  
【拓展思考】 
活動結束后，提問：如何從函數角度解釋不等式2x+2<-x+3？ 
引導學生觀察這個一元一次不等式與前面的不等式有何區別。這時候學生很自然的發現不等號右側不再是常數。有學生很自然想到“轉化”，利用不等式的性質對不等式進行變形，得到310x，這時候問題可以解決。教師引導學生思考，前面討論的一元一次不等式都可以圍繞一條直線尋找出對應的解集，現在對不等號右側的常數部分進行改變，變為含有元的表達式，能否不對不等式變形，將不等號兩側看做兩個函數，借助兩條直線的位置關系進行求解。這樣由一條直線拓展到兩條直線。 
在同一直角坐標系中繪制函數𝑦=2𝑥+2和𝑦=−𝑥+3圖象，解決上面的問題。 【鞏固應用】 
例1.如圖為函數y=kx+b的圖象， (1)不等式kx+b>4的解為____ (2)不等式kx+b<-1的解為___ (3)不等式kx+b-4<0的解為____ (4)不等式kx+b+1>0的解為___ (5)若43
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x
，則y的取值范圍為____ (6)若-1<y <4,則x的取值范圍為____ 
 
                    
             
                    
                              
 
例2.函數y=x+b與y'=kx+3的圖象如圖所示， (1)不等式x+b>kx+3的解集為_____   (2)不等式x+b>kx+3>-1的解集為_____   (3)使得y與y'都大于零的x的取值范圍是____ (4)根據圖象你能自己設計一道方程(組)或不等式(組)的題目嗎？     
 
兩道例題，一題多問，充分帶動學生鞏固一節課所學內容。  
 
【總結】 
1.學生反思內化 
通過本節課的學習，大家談談你有什么新的收獲？ 2．教師小結： 
知識：一元一次不等式𝑎𝑥+𝑏>0 𝑎≠0 的解集可以看作函數𝑦=𝑎𝑥+𝑏函數值大于(或小于)0時，自變量𝑥的取值范圍；直線𝑦=𝑎𝑥+𝑏在𝑥軸的上方（或下方）部分的點的橫坐標的取值范圍 
思想方法：類比轉化，特殊到一般：數形結合 【教學反思】 
本節課的教學設計整體思路基于上節課一次函數與方程的學習，類比上節課的學習方法，進行新課的學習，降低難度，加深認識。通過重新處理教材，提出問題，激發學生思維，主動建構自己的數學知識。 
本節課教學整體思路重在經歷用函數圖象表示不等式解的過程，進一步體會“以形表示數，以數解釋形”的數形結合思想；滲透由特殊到一般和類比轉化的數學思想方法，提高發現問題、分析問題、解決問題的能力。重視學生的主體作用，倡導“自主、合作、探究”的學習方式，讓學生經歷整個知識的探索過程，體驗數學研究的魅力。 
本節課運用幾何畫板和PPT將函數的性質借助圖象直觀的表現出來，為學生用函數觀點
 
                    
             
                    
                            解釋不等式的解集提供感性材料，降低解決問題的難度。

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