視頻標簽：弧、弦,圓心角

所屬欄目：初中數學優(yōu)質課視頻

視頻課題：人教版9年級上冊數學第二十四章24.1.3《弧、弦、圓心角》陜西

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24.1.3 弧、弦、圓心角
 
一、教學目標及重難點
1、學習目標：
（1）、理解圓心角的概念和圓的旋轉不變性.
（2）、利用圓的旋轉不變性，探究并得出弧、弦、圓心角的關系，并能正確推理論證。
（3）、通過觀察、比較、推理、歸納等活動，發(fā)展推理能力以及概括問題的能力。
2.學習重、難點：
重點：探索關系定理并利用其解決相關問題.
難點：定理中條件的理解及定理的探索.
二、學習過程：
1、思考：
①
         剪一個圓形紙片，把它繞圓心旋轉180°和任意角度，觀察旋轉前后的兩個圖形是否重合，并填空：圓是        對稱圖形，      是它的對稱中心；把圓繞著圓心旋轉任意一個角度，旋轉之后的圖形都與原圖形重合.
②                    的角叫做圓心角.
2、探究：
如圖，∠AOB=∠A′OB′，
那么，AB= A′B′,         =        
圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等.
幾何語言：∵ ∠AOB=∠A′OB′，
∴ AB= A′B′,         =      
結論1：在在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中如果有一組量相等，則它們所對應的其余各組量都          .
結論2：在在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩條弦心距中如果有一組量相等，則它們所對應的其余各組量都            。（知一得     ）
 

小結：在同圓或等圓中,如果
兩個圓心角,
      ②兩條弧,
      ③兩條弦,
      ④兩條弦心距   中,
有一組量相等,那么它們所對應的其余各組量都分別相等.
 
三、隨堂檢測(時間：12分鐘滿分：100分)
1.(10分)如圖，AB是⊙O的直徑，,∠AOE=72°，則∠COD的度數是(   )
      A．36°      B．72°    C．108°     D．48°
2.(15分)如圖，已知AB是⊙O的直徑，C、D是半圓上兩個三等分點，則∠COD=        
3.(15分)如圖，在⊙O中，點C是的中點，∠A=50°，
則∠BOC=       
4. (15分)  如圖，在⊙O中，AB=AC，∠C=75 ，
  求∠A的度數.

 
 
5. (15分)如圖，在⊙O中，AD=BC，求證：AB=CD.

 
 
（二）、綜合應用(20分)
6．（20分） 如圖，A、B是⊙O上的兩點∠AOB=120°，
   C是AB的中點，
求證：四邊形OACB是菱形.

 
 
三、拓展延伸(10分)
7.(10分)如圖，在⊙O中，弦AB與CD相交于點E，AB=CD．
(1)求證：△AEC≌△DEB；
(2)點B與點C關于直線OE對稱嗎？試說明理由．
 
 














弧、弦、圓心角                                 教學設計 
【教學目標】 
【知識與技能】 
1、理解圓心角的概念和圓的旋轉不變性. 
2、利用圓的旋轉不變性，探究并得出弧、弦、圓心角的關系，并能正確推理論證。 
【過程與方法】 
1、 通過PPT動畫演示使學生感受圓的旋轉不變性，發(fā)展學生觀察分析能
力. 
2、 通過觀察、比較、推理、歸納等活動，發(fā)展推理能力以及概括問題的
能力。 【情感態(tài)度】 
培養(yǎng)學生勇于探索的良好習慣，激發(fā)學生探究，發(fā)現(xiàn)數學問題的興趣. 
【教學重點】 
探索關系定理并利用其解決相關問題. 
【教學難點】：定理中條件的理解及定理的探索. 【教學過程】 
一、情境導入，初步認識 
利用著名數學家華羅庚的一段學習名言，端正學生的學習態(tài)度，激勵學生學習的斗志。 
【設計意圖】學習是件苦差使，所以，上課前，我借助著名數學家華羅庚
 
                    
             
                    
                            的一段話，讓學生重新認識學習的重要性，燃起學習的熱情。 
然后，通過復習垂徑定理和等弧的概念，引導學生走入課堂，看一看與之有關的圓的相關問題。 
【設計意圖】通過復習相關知識，讓學生重現(xiàn)所學，為本節(jié)課的學習做以鋪墊。 
二、思考探究，獲取新知 1.圓的旋轉不變性 
通過學生自制教具，借助教師的演示，以及PPT動畫的展示，讓我們不難發(fā)現(xiàn)： 
圍繞圓心O旋轉任意角度α，都能與原來的圖形重合，所以圓是中心對稱圖形，并且具有旋轉不變的特征. 這也是車輪具有的特征，所以汽車才能正常行駛.從而引入本節(jié)課題： 
 
2.弧、弦、圓心角之間的關系 
探究如圖，將圓心角∠AOB繞圓心O旋轉到∠A′OB′的位置，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關系，為什么？ 
 
【師生活動】：學生利用手中的卡片進行觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，教師在黑板上借助教具演示給學生，再次明確發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，然后借助ppt動畫，讓學生全方位
 
                    
             
                    
                            的理解三者之間的關系，明白“對應相等”。 
【設計意圖】：讓學生通過演示，觀察，思考，并歸納總結.初識定理，引發(fā)進一步的思考,同時，通過定理的證明體現(xiàn)數學的邏輯性、嚴謹性。 
【歸納結論】 ABAB   AB=A′B′ 
再分析等圓的情況（借助動畫演示讓學生有所感知） ∴由圓的旋轉不變性可得出下面的定理： 
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相同. 議一議： 
（1）在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等嗎？
所對的弦相等嗎？ 
（2）在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等嗎？
所對的弧相等嗎？ 
【師生活動】：教師引導，學生積極配合，想辦法利用所學知識證明三者之
間的關系。 
【設計意圖】：學生結合圓的旋轉不變性，很容易得出結論.這兩個問題是為了使學生深切體會，圓心角、弧、弦三者在同圓或等圓中之間存在的關系. 
【推    論】： 
在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等，所對的弦也相等. 在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓心角相等，所對的弧（指所對的優(yōu)弧和劣弧）也相等. 
 
【強    調】：1.弦所對的弧有兩條---優(yōu)弧和劣弧；2.定理及其推論的符號語言. 
【設計意圖】：培養(yǎng)學生用符號語言表示結論，發(fā)展學生用符號語言說理的能力. 
由此可總結為：在同圓或等圓中，圓心角相等則弧相等，弦相等. 【思考】：定理“在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也
相等．”中，可否把條件“在同圓或等圓中”去掉？為什么？ 
 
【教生活動】：教師引導學生質疑，探索，學生尋找、發(fā)現(xiàn)解決問題的方法。 【設計意圖】:讓學生學會質疑，敢于發(fā)現(xiàn)問題，從而解決問題，進一步加深對定理及推理的理解，使知識系統(tǒng)化，準確化。培養(yǎng)學生科學、嚴謹的學習態(tài)度。 練習：如下圖，AB、CD是⊙O的兩條弦。 
（1）如果AB=CD，那么         ,       。 
（2）如果AB=CD，那么      ，            。O
C
D
F
A
B
E
圖3
 
（3）如果∠AOB=∠COD，那么     ，      。 
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE與OF相等嗎？ 
（提示：三角形全等或全等三角形同一邊上的高相等） 
【師生活動】：通過不同的論證方法，讓學生體驗成功的樂趣，提高學習的積極性，并能進一步發(fā)展學生的思維，嘗試多種方法，多種思路解決同一問題，使所學知識能更自如的應用。 
 
                    
             
                    
                            【設計意圖】：讓學生在定理的掌握上有進一步的提高，充分考慮三個量之間的對應關系，如：第1、2、3問；第四問的問題為學生拓展思路，交給學生此類論證的方法，初步感受圓與三角形全等的結合，為下一步的拓展指明方向。 
3 定理的延伸 
探究：將∠AOB繞O旋轉到∠A/OB/ ，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關系？ 
 
【結論】：在同圓或等圓中,如果①兩個圓心角,②兩條弧, ③兩條弦, ④兩條弦心距中,有一組量相等,那么它們所對應的其余各組量都分別相等.  
圓心角定理整體理解： 
 
強調條件：在同圓或等圓中 
【設計意圖】：讓學生充分理解并感受這四個量之間的關系，能很快的反應出他們之間的對應關系，體會“對應相等” 
4.圓心角、弧、弦定理及推論的應用 
例1: 如上圖，在⊙O中，弧AB=AC，∠ACB=60°， 求證：∠AOB=∠BOC=∠AOC.  
分析：在⊙O中，要使圓心角相等，可通過證明圓心角所對的弦或弧相等解題.  
 
                    
             
                    
                             
證明：∵弧AB=弧AC， 
∴AB=AC，△ABC是等腰三角形. 又∠ACB=60°， 
∴△ABC是等邊三角形，AB=BC=CA. ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC. 
【師生活動】：教師引導、分析，讓學生初次感受定理及推理的應用方法，通過學生的表述，讓學生進一步體會數學證明的規(guī)范性和嚴謹性。 
【設計意圖】：學習定理是為了解決數學問題的，通過例題的講解以及學生的解答，發(fā)展學生的推理能力以及概括問題的能力，并潛移默化的規(guī)范學生的書寫要求， 
三、運用新知，深化理解 （一）、基礎鞏固 
1.(10分)   如圖，AB是⊙O的直徑，BC
CDDE，          ∠AOE=35°，求∠COD的度數。 
2.(15分)  如圖，已知AB是⊙O的直徑，C、D是半圓上兩個三等分點，
則∠COD=         
3.(15分)  如圖，在⊙O中，點C是
的中點，∠A=50°， 
則∠BOC=       【師生活動】：教師引導，學生上黑板講解解答過程，教師發(fā)現(xiàn)問題，及時予以矯正，讓學生能進一步應用定理解決相關問題。 
【設計意圖】：鞏固定理內容，加深對定理的理解，初步應用定理解決問題，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力及運用知識的能力. 增強學習數學的信心和熱情.   4. (15分)  如圖，在⊙O中，AB=AC，∠C=75 ，求∠A的度數. 
             
5. (15分)  如圖，在⊙O中，AD=BC，求證：AB=CD. 
【師生活動】：教師在教室巡回，看學生解題的實際情況，適時的予以指導，點撥，學生上黑板板演解答過程，教生共同進行評判，對于不同的解題思路和方法，用展臺展示在白板上，讓學生能清楚的看到同學的不同解法，開闊解題思路，發(fā)現(xiàn)問題，及時予以矯正，作對的及時予以肯定，鼓勵。讓學生能進一步應用定理解決相關問題，體現(xiàn)學習的連貫性。 
【設計意圖】：鞏固定理內容，加深對定理的理解，嘗試不同方法解題，開闊思路，鍛煉思維，初步應用定理解決問題，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力及運用知識的能力. 增強學習數學的信心和熱情.   （二）、綜合應用(20分) 
6．（20分） 如圖，A、B是⊙O上的兩點∠AOB=120°， 
 
                    
             
                    
                               C是AB的中點， 
求證：四邊形OACB是菱形. 
 
（三）、拓展延伸(10分) 
7.(10分) 如圖，在⊙O中，弦AB與CD相交于點E，AB=CD． 
(1)求證：△AEC≌△DEB； 
(2)點B與點C關于直線OE對稱嗎？試說明理由． 
【說   明】：6、7題有一定的綜合性，布置為作業(yè)，學生在做的過程中，可以應用所學，相互討論，尋找最簡潔的思路和方法。 
 四、知識小結 ，讓學生進一步明確所學。 通過這節(jié)課的學習，你掌握了哪些知識? 
【教學說明】：設問引起學生進行回顧與思考，完善知識體系。 
五、布置作業(yè)   
【教學反思】： 
1.本節(jié)課學生通過觀察、比較、推理、歸納等活動，得出了圓是中心對稱圖形以及圓的旋轉不變性，圓心角定理及推論，可以發(fā)展學生勇于探索的良好習慣，培養(yǎng)動手解決問題的能力. 
2.本節(jié)課中，教師盡量讓學生掌握解題方法，即要證弦相等、弧相等或圓
 
                    
             
                    
                            心角相等，可先證其中一組量對應相等.掌握這個解題方法有助于提升學生的抽象思維能力. 
3.在講解隨堂練習和例題，以及練習題的過程中，大膽嘗試不同思路和方法解決同一問題，開闊思路，鍛煉數學思維能力，進一步鞏固所學知識并靈活應用。 
4、借助現(xiàn)代化教學設備，充分發(fā)揮其優(yōu)勢，加大了課堂容量，讓學生很直觀的看到了所學知識的精彩呈現(xiàn)。 
5.本節(jié)課的不足是：對于現(xiàn)代化教學設備，應用不很熟練，錄課倉促，設備出現(xiàn)一點問題，例1講完后，后面的視頻全部是快進，導致剪輯內容不很理想，沒有完全呈現(xiàn)我的教學思路。比如：學生不同解題思路的展示，包括板演的講評和實物展示臺的展示，還有課堂的小結等等。 
敬請同行點評指導，謝謝大家！

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