視頻標(biāo)簽：圖形的平移,旋轉(zhuǎn)回顧

所屬欄目：初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊《圖形的平移與旋轉(zhuǎn)回顧與思考》（第二課時）福建省 - 漳州

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《圖形的平移與旋轉(zhuǎn)回顧與思考》（第二課時） 
一、教學(xué)內(nèi)容分析 
本節(jié)課是八下第三章《圖形的平移與旋轉(zhuǎn)》學(xué)完后，對圖形的變換——平移、旋轉(zhuǎn)的相關(guān)性質(zhì)復(fù)習(xí)后的應(yīng)用提高.本課是在全等三角形、角平分線的性質(zhì)、等邊三角形、勾股定理、圖形的旋轉(zhuǎn)基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，又是后面學(xué)生后續(xù)解決運(yùn)動型問題、幾何綜合問題等類型的動態(tài)幾何問題的必備知識，為學(xué)生解決動態(tài)幾何問題做了必要的準(zhǔn)備.是學(xué)生體會轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、特殊到一般思想等數(shù)學(xué)思想方法的必要體驗(yàn). 
二、學(xué)情分析 
幾何是初中學(xué)生中考數(shù)學(xué)的“難過的坑”，動態(tài)幾何更令學(xué)生談虎色變.大部分的學(xué)生沒能養(yǎng)成認(rèn)真審題的習(xí)慣，對太長的題目沒有足夠的耐心去審讀，更別說去挖掘題目中的相關(guān)知識的聯(lián)系，對于會動的幾何.很多學(xué)生更是直接選擇放棄.而優(yōu)生雖然學(xué)習(xí)熱情高，但對問題的分析能力、概括能力、化解難點(diǎn)等方面存在嚴(yán)重不足. 三、教學(xué)目標(biāo) 
1.通過復(fù)習(xí)，讓學(xué)生熟練掌握借助圖形的變化研究圖形的性質(zhì)一般思路；體會圖形的旋轉(zhuǎn)與全等三角形的構(gòu)造之間的內(nèi)在聯(lián)系，提高學(xué)生觀察分析綜合問題的能力. 
2.通過動手操作、觀察推理提高學(xué)生分解、組合圖形的能力，提高和完善邏輯思維能力和運(yùn)用知識解決問題的能力.  
3.通過欣賞圖形變換所創(chuàng)造出的美，進(jìn)一步感受“動中有靜”、“以不變應(yīng)萬變”的數(shù)學(xué)解題方法之美. 四、重難點(diǎn)分析 
1.教學(xué)重點(diǎn)：體會圖形的旋轉(zhuǎn)與構(gòu)造全等三角形的內(nèi)在聯(lián)系；通過類比、歸納，探索圖形的變換過程中存在的內(nèi)在聯(lián)系，尋找其中的內(nèi)在規(guī)律.  
2.教學(xué)難點(diǎn)：培養(yǎng)學(xué)生的模型意識，并自覺運(yùn)用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)思考問題，在復(fù)雜的問題情境中能將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為基本模型，從而順利解決數(shù)學(xué)問題. 五、教法分析 
1.通過典型例題的剖析，歸納動態(tài)幾何問題的處理策略，形成解決同類問題的一般思路與分析方法； 2.引導(dǎo)學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中重視模型和基本圖形的發(fā)現(xiàn)、積累和運(yùn)用，提高解題能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)模型意
識，用模型意識來指導(dǎo)解題，用模式識別來選擇解題策略； 
3.教學(xué)要充分考慮初中學(xué)生的思維習(xí)慣，照顧到最大部分的學(xué)生，設(shè)計好梯度，先直觀再抽象，抓住圖形變換中不變的量，“以不變應(yīng)萬變”.  
六、課前準(zhǔn)備 
學(xué)生：三角尺；導(dǎo)學(xué)案. 教師：ppt、幾何畫板、微課視頻 七、教學(xué)過程設(shè)計 （一）情境引入 
武俠里的“無招勝有招”與數(shù)學(xué)里的“以不變應(yīng)萬變”,本課要借助手中的三角尺探究圖形的變換過
 
                    
             
                    
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B
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A
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B
P
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程中的“變”與“不變”. （二）探究活動【見導(dǎo)學(xué)案】 
活動一：如圖：∠AOB=90°，OC是∠AOB的角平分線，將三角尺△PQR的直角頂點(diǎn)P放在OC上，繞著點(diǎn)P轉(zhuǎn)動△PQR，四條直角邊圍成四邊形OMPN. 
問題1：當(dāng)PM⊥OA時，∠PMO與∠PNO的度數(shù)如何？PM與PN相等嗎？為什么？ 問題2：此時，若OM+ON＝k·OP，求k的值. 
【設(shè)計意圖】 從最簡單，也是最特殊的位置入手，尋找規(guī)律，暗中揭示本課研究的主要數(shù)量關(guān)系，也是讓學(xué)生體會探索數(shù)學(xué)規(guī)律從特殊到一般的方法，也教給學(xué)生“動中尋靜”的一種“特殊值法”. 
活動二：保持點(diǎn)P在OC上，繞著點(diǎn)P轉(zhuǎn)動△PQR，探究轉(zhuǎn)動過程中變化的量以及不變的量. 
問題1：轉(zhuǎn)動△PQR的過程中，四邊形OMPN的哪些元素變化了？哪些沒變？ 問題2：結(jié)合活動一，你認(rèn)為PM、PN還相等嗎？怎么證明？ 
問題3： PM與PN可以通過怎樣的運(yùn)動變化重合？這能給全等三角形的證明提供其他思路嗎？ 
問題4：OM+ON＝
OP還成立嗎？四邊形OMPN的什么特征使得OM在旋轉(zhuǎn)后能與
ON拼合在同一直線上？ 
問題5：如果點(diǎn)M移動到了射線OA的反向延長線上，這兩個結(jié)論還成立嗎？ 
【設(shè)計意圖】 最特殊的情況往往蘊(yùn)含著最本質(zhì)的規(guī)律和方法，本環(huán)節(jié)的設(shè)計，由淺入深，由于有活動一的鋪墊，學(xué)生心理對結(jié)論有著較強(qiáng)的目的性，重點(diǎn)在于探索全等三角形的證法中的難點(diǎn)——證明角的相等，力求多種思路；同時，借助幾何畫板工具，探究△PQR在旋轉(zhuǎn)過程中存在的不變關(guān)系，增強(qiáng)學(xué)生的感性認(rèn)識，對線段以及全等三角形的旋轉(zhuǎn)重合加深印象，體會“動靜互化”的思想，為以下的解題提供思路. 
活動三：改變∠AOB的度數(shù)，探究旋轉(zhuǎn)過程中的不變規(guī)律. 
問題1：已知∠AOB=120°，OC是它的角平分線，利用手中的三角尺選擇一個特殊的角∠QPR（如30°，45°，60°，90°，120°等），使其頂點(diǎn)P在OC上.為了使∠QPR在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中PM＝PN仍然成立，∠QPR應(yīng)取多少度？ 
問題2：為了證明PM＝PN，你按什么樣的思路構(gòu)造全等三角形？ 問題3：剛才的結(jié)論：OM+ON＝
OP還成立嗎？四邊形OMPN的什么特征保證了OM
在旋轉(zhuǎn)后能與ON拼合在同一直線上？ 
問題4： 如果∠MON＝α，∠MPN＝β，你認(rèn)為α與β應(yīng)該滿足什么關(guān)系才能使PM＝PN成立？如何證明？ 
【設(shè)計意圖】 特殊的情況雖然能幫助學(xué)生探索結(jié)論，但是在從特殊到一般的探究過程中也會對學(xué)生造成干擾，容易認(rèn)為∠AOB與∠MPN應(yīng)該相等，改變∠MPN的度數(shù)就是要盡量降低這種負(fù)遷移，為數(shù)學(xué)模型的抽象做好鋪墊. 
同時，脫離三角尺的背景，也是培養(yǎng)學(xué)生的模型意識的需要，感性到理性必須有一個抽象的過程，有了前面探究的基礎(chǔ)，學(xué)生用相同的思路、相同的證法思考全等三角形的證明，在思考的過程中深刻體會“以
N
M
OP
N
M
O
P
 
                    
             
                    
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靜制動”的分析方法以及“動中有靜”的結(jié)論.   （三）鞏固應(yīng)用 
1.已知：在正方形ABCD中，P為直線AD上一點(diǎn)，連接BP,以BP為底邊作等腰直角三角形△PBE,連接AE. （1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上時，求證：AB+AP=
AE; 
（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在線段 DA 的延長線上時，線段 AB、AP、AE 的數(shù)量關(guān)系是___________________.  
【設(shè)計意圖】將活動二的情形適當(dāng)變式，其中的旋轉(zhuǎn)思路并無變化，通過兩種情形的練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的模型意識，體會旋轉(zhuǎn)在證明線段關(guān)系中的應(yīng)用，使技能得到固化.  （四）歸納提高 
播放微課視頻，歸納課上分析的幾種情形，挖掘出最本質(zhì)的特征，建立幾何模型，通過視頻展現(xiàn)圖形變換中的“變與不變”，體會旋轉(zhuǎn)在解題思路中的應(yīng)用，拓展聯(lián)系相關(guān)知識點(diǎn)，總結(jié)提高. 
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名稱：對角互補(bǔ)模型 
條件：①對角互補(bǔ)（∠MON+∠MPN=180°）②角平分線OP 結(jié)論：PM＝PN 
思路：旋轉(zhuǎn)（△POM繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)∠MPN的度數(shù)） 輔助線：過點(diǎn)P作∠OPG=∠MPN，交ON的延長線于點(diǎn)G 
【設(shè)計意圖】 從借助工具到脫離工具，學(xué)生經(jīng)歷觀察、抽象、建立模型的過程，在逐漸抽象的過程中挖掘模型中最本質(zhì)的特征，體會數(shù)學(xué)模型是聯(lián)系數(shù)學(xué)與實(shí)際問題的橋梁，培養(yǎng)學(xué)生的模型意識，培養(yǎng)學(xué)生敏銳的洞察力、持久的創(chuàng)造力.利用微課視頻，增強(qiáng)學(xué)生的興趣，把整個課濃縮并升華.  
（五）回顧思考--問題清單 
（1） 今天學(xué)習(xí)了什么數(shù)學(xué)模型？  
（2） 你是如何記住這個模型的？它的最本質(zhì)的特征是什么？ （3） 它有幾種特殊情況？分別對應(yīng)著什么結(jié)論？ （4） 在證明結(jié)論時哪一部分最重要？你的思路是什么？ （5） 在證明結(jié)論時哪一部分最困難？你的方法是什么？ （6） 你在學(xué)習(xí)過程中有哪些新的體驗(yàn)？感受到了哪些思想方法？  
G 
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OP
 
                    
             
                    
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（六）布置作業(yè) 
1. 如左下圖，在對角互補(bǔ)模型中，已知∠MON=60°, ∠MPN=120°，旋轉(zhuǎn)∠MPN的過程中， ①PM＝PN，②OM+ON＝OP仍然成立，求k的值.  
2.已知等邊△ABC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∠NDM=120°,兩邊分別交直線AC、AB分別于點(diǎn)M、N 
（1） 如圖1，求證MC=AB+BN： 
（2） 如圖2，線段MC、AB、BN的數(shù)量關(guān)系是_________________________________. 

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