視頻標簽：第十二屆全國初中青年

所屬欄目：初中數(shù)學優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：第十二屆全國初中青年數(shù)學教師課例展示與研討活動課《4.3.1 角》遼寧_王昕昕

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第十二屆全國初中青年數(shù)學教師課例展示與研討活動課《4.3.1 角》遼寧_王昕昕

角
人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學》
（七年級上冊第四章4.3.1）
授課教師：王昕昕 遼寧省鞍山市高新區(qū)實驗學校
《角》教學設(shè)計
王昕昕
（遼寧省鞍山市高新區(qū)實驗學校）
摘 要：幾何概念是學生學習其他幾何知識的基礎(chǔ)，角作為中學幾何概念學習中的重要概念之一，在教學中有著舉重若輕的地位.本節(jié)課通過類比線段的研究思路構(gòu)建出角的研究路徑，從角的定義、表示方法、度量及畫法等方面展開對角的研究. 學生借助直觀，基于活動，通過動手操作、觀察、比較、分析圖形，經(jīng)歷了概念的探究過程，逐漸從兩個角度建立角的概念，促進學生對角的理解.這節(jié)課特色在于以學生的認知特點為基礎(chǔ)，通過小組合作，自學研讀教材，學生自主去思考、探究，親自經(jīng)歷知識的產(chǎn)生與發(fā)展過程. 有效培養(yǎng)學生運用數(shù)學眼光看待問題，用數(shù)學語言精準的描述問題，用數(shù)學抽象的思維方式思考并解決問題，為學生終身的發(fā)展奠定基礎(chǔ).
關(guān)鍵詞：概念教學；數(shù)學抽象；概念形成；角一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

人教版《義務(wù)教育教科書 數(shù)學》七年級上冊：“4.3.1 角”.
本節(jié)課具體內(nèi)容為角的定義，角的表示方法，角的度量工具和單位以及畫法.

知識結(jié)構(gòu)圖

2.內(nèi)容解析

《幾何圖形初步》一章的學習是圖形與幾何學習的開端，主要學習了基本圖形概念的抽象，圖形的表示，畫圖，作圖，對幾何語言的學習、運用等，這些都是幾何學習的起始基礎(chǔ)，而概念的抽象是這一章學習的難點.學生能用準確的數(shù)學語言表達出抽象的概念是學生在初學幾何時的一大障礙，《角》這節(jié)課的教學恰恰是由簡單向復雜學習幾何圖形概念的起點. 在學習本節(jié)課之前，學生在小學對角的概念、角的表示、角的度量直觀上就已經(jīng)有了粗淺的認識，但從理性推理的角度再認識角缺乏經(jīng)驗，后續(xù)學習的重點則是理解角的動態(tài)、靜態(tài)概念.從理性角度給幾何圖形下定義，學生沒有學習經(jīng)驗，學習下定義的方法，并用這種方法給角下定義，既符合幾何圖形的研究體系，也符合邏輯推理的素養(yǎng).
利用幾何圖形構(gòu)成的元素和元素之間的位置關(guān)系，以及運用描述運動過程方式給角下定義對學生來說較為困難，因此本節(jié)課采用探究式教學：實際生活情境 ——抽象幾何圖形——發(fā)現(xiàn)本質(zhì)特征——描述概念——概念辨析等步驟，借用學生概念學習的學習經(jīng)驗，學生在探究過程中自主發(fā)現(xiàn)靜態(tài)角的共性特征和動態(tài)角的射線運動方式給角下定義，并逐步認同它是幾何圖形下定義的方式. 基于以上分析,確定本節(jié)課教學重點為：角的概念與角的表示方法.

二、目標和目標解析

1.目標

1. 在現(xiàn)實情境中，認識角是一種基本的幾何圖形，理解角的概念，體會用運動的觀點理解角、平角、周角的概念；
2. 學會角的表示方法，認識角的度量單位度、分、秒，會進行簡單的換算和角度計算．

2.目標解析

達成目標（1）的標志是：學生經(jīng)歷類比線段的研究思路得到角的研究思路
的過程，能初步意識到數(shù)學知識內(nèi)部之間的聯(lián)系；建立研究幾何圖形的一般路徑；學生經(jīng)歷實際背景——數(shù)學抽象——概括本質(zhì)特征——下定義——概念辨析的過程，通過獨立思考、小組合作的學習方式，從靜態(tài)和動態(tài)兩個角度理解角的概念，并初步形成給幾何圖形下定義的思路，發(fā)展學生理性思維，積累數(shù)學研究的活動經(jīng)驗.
達成目標（2）的標志是：會用恰當?shù)姆绞奖硎疽粋�角；能獨立閱讀教材，會從材料中提煉知識，認識角的常用度量單位（度、分、秒），并進行簡單的換算，了解角的畫法中使用的工具，提高自主學習意識.
三、學生學情分析以往的教學更多的是關(guān)注概念的記憶和運用，對于概念抽象的過程以及概念內(nèi)涵與外延的理解，學生由于缺乏過程體驗，只是機械的記憶與背誦，所以運用概念的過程中出現(xiàn)混亂.基于以上原因，在七年級其他的五個班級共182名學生剛剛學完角這節(jié)課之后，我選擇對他們進行調(diào)研，設(shè)計的第一組試題考察的是概念運用，第二組試題考察的是概念的數(shù)學語言表達.
學情調(diào)查問卷

學情調(diào)查數(shù)據(jù)統(tǒng)計

題號		答對		答錯
		人數(shù)	占百分比	人數(shù)	占百分比
第一組	1 題	164	90.1%	18	9.90%
	2 題	137	75.2%	45	24.8%
	3 題	141	77.4%.	41	22.6%
第二組		111	61.0%	71	39.0%

從調(diào)查中我們發(fā)現(xiàn)，第一組方法操作層面的考查學生答的明顯好于第二組，
第二組用數(shù)學語言準確描述角的平分線這一概念，這些學生表現(xiàn)出薄弱，準確的使用數(shù)學語言表達，學生存在很大的障礙.這也說明本節(jié)課要注重關(guān)注學生體驗角的概念生成的過程，這樣才能使學生真正認識理解角的動態(tài)與靜態(tài)定義，充分認識到角是從組成元素及其關(guān)系以及角的形成兩個角度來刻畫.小學時學生對角已經(jīng)有了直觀形象的認識，這三種定義方式（如圖）交錯一起學生會在理解及用語言描述上容易混淆.

三種定義圖示
基于以上分析，本節(jié)課的教學難點為：正確理解角的概念.

四、教學策略分析

首先是整體把握，在從靜態(tài)和動態(tài)兩個角度探究角的概念的過程中，學生經(jīng)歷了圖形抽象，抓取一類圖形的共同特征，用精準的數(shù)學語言表述圖形，在這個過程中，體驗到了怎樣給幾何圖形下定義.從角的組成到形成的兩種角度給角下定義的逐次遞進的過程中，學生對角的結(jié)構(gòu)的認識也逐步深入和清晰.
其次是活動顯性化，在小組活動中，教師將學生產(chǎn)生的活動經(jīng)驗通過活動卡片進行收集并展示，顯性化學生的思維，學生在辨析中逐步理解角的概念并明確使用簡潔、準確的數(shù)學語言表達角的定義.
在角的度量和畫法環(huán)節(jié)采用了自學研讀的學習方式，通過自學提綱的引領(lǐng)，教師對學生研讀進行學法指導，學生獨立提煉知識，逐漸歸納完成知識的建構(gòu)，并在自學反饋中對角度的換算達到理解.

五、教學過程設(shè)計

教學流程示意圖

環(huán)節(jié)一 確定角的研究內(nèi)容

教師：現(xiàn)實生活中，多姿多彩的幾何圖形豐富了我們的生活空間，為了更好
的了解它們，我們往往從簡單的幾何圖形開始研究，前面我們學過了點，直線，射線，線段，今天我們來研究一個小學時我們就認識的圖形——角.
設(shè)計意圖：先感受幾何圖形來自于現(xiàn)實生活，我們了解幾何圖形的必要性.
問題1 如何來研究角呢？我們一起來回憶線段是從哪些方面研究的？哪位同學來說說？
師生活動：學生回顧在線段中所學的內(nèi)容，教師歸納. 教師關(guān)注：學生對所學線段內(nèi)容的整體認識以及“幾何模型——圖形——文字——符號”的學習過程.
設(shè)計意圖：通過回憶與本節(jié)課內(nèi)容密切相關(guān)的引導性材料，使學生對學習進程心中有數(shù)，幫助學生掌握研究問題的方法.
追問：類比線段的研究思路，結(jié)合小學時對角的研究內(nèi)容，同學們想想角將學習哪些內(nèi)容呢？大家交流一下.哪個小組來說說你們的觀點？
師生活動：學生討論解決問題的方法，學生代表展示交流.學生展示后提問：類比線段的中點，你覺得角還應(yīng)該研究什么呢？教師在學生展示交流的基礎(chǔ)上，板書內(nèi)容，歸納角的研究思路.
追問：小學時我們對角已經(jīng)有了直觀的認識，進入初中后，我們還要從理性的角度進一步對角展開研究.那我們先從哪方面來研究呢？
師生活動：確定接下來的研究內(nèi)容——角的定義.
設(shè)計意圖：注重學生數(shù)學“一般觀念”的形成，體會類比的思想方法.用類比的方法構(gòu)建研究新幾何圖形的框架為課堂開展打下基礎(chǔ).

環(huán)節(jié)二 概念教學

（一）角的靜態(tài)定義

1.實際情境

教師：我們先來研究角的定義，請同學們看大屏幕，鐘面上的時針和分針，
棱錐相交的兩條棱，三角尺相交的兩條邊線都給我們以角的形象，你感受到了嗎？請同學們畫出你感受到的角？請在學案上畫出.

師生活動：學生在學案上畫出感受到的角.
教師關(guān)注：學生畫角的規(guī)范性，是否能畫出更多感受到的角.
設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生的觀察能力，實現(xiàn)從實物到圖形的抽象過程，培養(yǎng)學生
的抽象思維能力.

3.找出共同特征，形成概念

教師：我看到同學們畫出很多你感受到的角，我們從中選出這樣的三個角，
請同學們認真觀察，這里有銳角，直角，鈍角，它們有什么共同的特征？請你給角下一個定義.請同學們完成活動一.
師生活動：學生獨立思考.寫完卡片后組內(nèi)交流，把想法匯總到一張卡片上.
設(shè)計意圖：給角下定義是學生以往沒有做過的數(shù)學活動，有一定的困難，通過分層的形式，針對于元素和元素之間的關(guān)系設(shè)置了兩個小的問題，降低難度讓每一個學生都能有研究的方向.引導學生觀察，找?guī)缀螆D形的共同特征，培養(yǎng)學生的歸納概括能力，體會如何給角下定義.同時培養(yǎng)合作意識.

4.逐次遞進，顯性化學生的思維

問題2 我看到同學們在下定義的過程中，有這樣的寫法，你同意嗎？說說你的想法.
師生活動：教師多媒體投影展示：
(1)兩條射線組成的圖形叫做角.（元素位置表述不清）
(2)兩條相交的射線組成的圖形叫做角.（元素位置表述錯誤）
(3)一個點引出的兩條射線組成的圖形叫做角.（小學時直觀形象的表述）
(4)端點重合的兩條射線組成的圖形叫做角.（說清元素及元素的位置關(guān)系）
學生思考后回答觀點，(1)(2)到黑板上畫圖，闡述錯誤理由.
教師：后面這兩種說法都是正確的，一個點引出的兩條射線組成的圖形叫做角是小學時對角的形象直觀的認識，初中我們又理性地從角的組成元素有兩條射線，以及它們的位置關(guān)系重新定義了角，這里我們把端點重合說成有公共端點. 請同學們在學案上訂正（教師板書角的定義）這里的兩條射線是組成角的元素，公共端點說明了元素的位置關(guān)系.兩條射線是角的兩條邊，公共端點是角的頂點. 以后初中學習的幾何圖形有很多就是用這樣的方式下定義的.
設(shè)計意圖：將學生產(chǎn)生的活動經(jīng)驗通過活動卡片進行收集并展示，顯性化學生的思維，分別展示元素位置表述不清、元素位置表述錯誤、小學時直觀形象的表述、說清元素及元素的位置關(guān)系的幾組卡片，使學生在辨析中逐步理解角的概念并明確使用簡潔、準確的數(shù)學語言表達角的定義.讓學生參與到知識的產(chǎn)生與發(fā)展過程中. 角的靜態(tài)描述自然而然地得到，從而突破重點.

5.角的概念辨析

問題3 請同學們看大屏幕，下列圖形是角嗎？請你說明理由.誰來說一說？

師生活動：學生思考后回答，闡述觀點，說明理由.
教師關(guān)注：學生表述的是否準確.
設(shè)計意圖：學生通過概念辨析，在識別角的過程中加深對角的定義的理解.
（二）角的表示方法
問題4 同學們來看，黑板上有兩個角，為了區(qū)分它們，我們要給它們起名字，也就是我們要研究角的哪方面？小學時你會怎樣表示角呢？師生活動：明確接下來要研究的內(nèi)容——角的表示方法.
教師：我們今天再來介紹另外幾種表示角的方法.請同學們跟老師一起寫出
來。我們也可以用希臘字母來表示這個角，我們需要加一條弧線，標記希臘字母，這個角可以記作∠α，常見的希臘字母還有β.我們可以用三個大寫字母來表示這個叫，這個角可以記作 ∠AOB，我們也可以把這個叫記作∠BOA，但是頂點的字母必須放在三個字母中間.當頂點處只有一個角時，可用頂點的一個字母來表示這個角，我們也可以簡單記作∠O.請同學們看大屏幕，觀察圖中的∠α可以記作角 O 嗎？為什么？∠α還可以怎樣表示呢？
設(shè)計意圖：此處采用講授式的教學方式，使學生會用恰當?shù)姆绞奖硎窘牵�設(shè)置習題鞏固對角的表示方法的認識. 培養(yǎng)學生數(shù)學符號的應(yīng)用意識，不含糊，不產(chǎn)生歧義，注重嚴謹性.

（三）角的動態(tài)定義 1.觀察動態(tài)演示過程

問題5 請同學們觀察，這是一條射線（教師在黑板上畫出一條射線），你能用這條射線形成 90°角嗎？誰能到前面來給大家演示一下.通過這樣的方式，我們還能形成哪些你熟悉的角？

師生活動：學生到前面演示旋轉(zhuǎn)的過程.教師幾何畫板展示旋轉(zhuǎn) 90°的過程. 學生回答問題.
設(shè)計意圖：幾何畫板動態(tài)演示，先由特殊的90°角引入動態(tài)角的形成，再讓學生思考可以產(chǎn)生哪些認識的角，再到一般度數(shù)的角，這樣由特殊到一般的變化過程，清晰的展現(xiàn)角的形成過程，便于學生理解，能加深對動態(tài)定義的理解.

2.從形成的角度歸納概括，形成概念

教師：請同學們認真觀察這條射線的運動.請你從角形成的角度，再給角下
個定義.請同學們完成活動二.

師生活動：學生獨立思考.寫完卡片后組內(nèi)交流，把想法匯總到一張卡片上.
設(shè)計意圖：培養(yǎng)合作意識，通過交流并嘗試用自己的理解程度對形成角的過程進行歸納描述，學生再一次體會如何給角下定義，并培養(yǎng)學生的歸納概括能力.
問題6 我看到同學們在下定義的過程中，有這樣的寫法，你同意嗎？說說你的想法.
師生活動：教師多媒體投影展示：(1)角可以看作是一條射線繞著端點旋轉(zhuǎn)而成的圖形.(2)角可以看作是一條射線旋轉(zhuǎn)而成的圖形.學生思考后回答觀點，
(2)到黑板上畫圖，闡述理由.
設(shè)計意圖：進一步理解角的概念內(nèi)涵，學生用數(shù)學語言描述角的形成過程，并不斷精致數(shù)學概念，在這一過程中感受數(shù)學的嚴謹性.
教師：我們從角的形成定義了角，角可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.起始位置的射線稱為始邊，終止位置的射線稱為終邊.請同學們寫在學案上.（板書角的定義）
問題7 從形成的角度我們看，從始邊出發(fā)，旋轉(zhuǎn)到終邊形成的角，角這個圖形是否包含兩條射線之間的部分？誰來說說你的觀點？
師生活動：學生思考后回答觀點，闡述理由.教師幾何畫板演示追蹤射線，再讓學生回答觀點，闡述理由.

設(shè)計意圖：掌握概念，不僅要掌握概念的內(nèi)涵，還要掌握概念的外延. 上述問題目的是在理解角的概念內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，再次認識角的外延，從而達到對角概念的全面理解，需要學生不斷深入思考，逐步領(lǐng)悟.
教師：角不僅僅看作是有公共端點的兩條射線，還應(yīng)該注意兩條射線所夾的平面區(qū)域，這也是角的組成部分.說明一點，初中階段我們研究的角都是小于180^o 的角.
問題8 我們從兩個角度給角下了定義，它們有什么不同？師生活動：學生思考后回答問題.
教師：我們后續(xù)學習的幾何圖形的定義，也有一部分從動態(tài)角度研究定義的.
設(shè)計意圖：讓學生感受到可以從不同的角度給幾何圖形下定義.

環(huán)節(jié)三 自學研讀

1.學法指導 2.提煉知識 3.逐漸歸納完成知識的建構(gòu)

問題9 請同學們閱讀教材133頁，自學研讀后，說說是從哪些方面研究角的？每一方面研究了哪些內(nèi)容？還有哪些困惑？說說是從哪些方面研究角的？角的度量研究了哪些內(nèi)容？角的畫法研究了哪些內(nèi)容？選擇三角板和量角器畫角有什么區(qū)別呢？

師生活動：學生參考教師給出的提綱，閱讀教材，解決問題.學生到多媒體中畫出重點，并概括知識.并完成自學反饋.
設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生自主學習的能力.通過自學提綱的引領(lǐng)，教師對學生研讀進行學法指導，學生獨立提煉知識，逐漸歸納完成知識的建構(gòu)，并在自學反饋中對角度的換算達到理解。

環(huán)節(jié)四 小結(jié)

教師與學生一起回顧本節(jié)課所學的主要內(nèi)容，總結(jié)知識與方法收獲.并請學生回答以下問題：本節(jié)課在知識方面我們學習了什么？方法方面我們學到了什么？在自學研讀中你有哪些方法的收獲？在小組活動中同學們有哪些收獲？
設(shè)計意圖：通過教師與學生一起梳理知識方面的收獲，數(shù)學思想方法方面的收獲，數(shù)學活動經(jīng)驗積累的收獲，關(guān)注學生的個別差異，在尊重個體差異的基礎(chǔ)上幫助學生形成自我評價的意識.

環(huán)節(jié)五 布置作業(yè)

《角》作業(yè)任務(wù)單
姓名		班級		日期
作業(yè)目標	理解角的定義，會表示一個角. 熟練度分秒的換算.
必做題       滿分：10分 預計時間：15分鐘 實際時間：_______
1.梳理本節(jié)課的收獲. 2.教材139頁 1，2，3題. 3.利用直角三角板，可以得到哪些角？請你畫出這些角，并把它們用不同的方法表示出來.
選做題
教材141頁 第15題圖中你能發(fā)現(xiàn)哪些數(shù)學知識，能得到哪些結(jié)論，請記錄你是怎樣想到的.
作業(yè)說明第一部分必做題：所有同學都需要完成，不同學生可以結(jié)合自身情況，對本節(jié)課的收獲進行梳理，教師可以通過學生的反思了解學生的掌握情況，了解學生學習過程中的薄弱環(huán)節(jié)，另一方面，反思性作業(yè)可以培養(yǎng)學生梳理知識脈絡(luò)，養(yǎng)成回顧與復習的習慣，2，3題為常見典型題，是教材的書后習題，旨在鞏固基礎(chǔ)知識和基本技能. 第二部分：選做題.不同學生可以根據(jù)自己的實際需求進行選擇，使每個同學都能有所收獲.
評價方式：評價分為教師評價和學生自我評價，評價中必做題和選做題分開評價，讓不同層次的同學都能收獲成功的體驗，教師的評價可以幫助學生了解自己和同學之間的差異，明確自己對基礎(chǔ)知識基本技能的掌握情況，學生自我評價的過程能夠更好的讓學生分析自己，認識自身的優(yōu)點與不足，從而為自己將來的學習做好更有針對性的規(guī)劃. 診斷改進：對于基本知識基本技能的學習，復習回顧的過程必不可少，將存在問題的題目進行匯總和分析，方便學生系統(tǒng)的回顧問題，分析錯因，讓學生加深對知識的理解.教師會根據(jù)每個孩子的情況對孩子進行針對化的方法指導，協(xié)助孩子更好的發(fā)展.

設(shè)計意圖：作業(yè)的設(shè)計體現(xiàn)學生的自主學習，提高自主學習的意識，發(fā)展自主學習的能力，使學生走向真實深度學習，國家文件第十條完成好基礎(chǔ)作業(yè)，完成好基礎(chǔ)作業(yè)就是做到知識遷移，從單一知識到綜合運用避免學生知識的碎片化.
基于上述理念設(shè)計此開發(fā)式作業(yè)單.

六、課堂教學目標檢測

設(shè)計意圖：考察學生角的表示方法，和度  分 秒換算的掌握情況.同時考察學生對幾何圖形下定義方法的理解，以及研究新幾何圖形的框架的理解.

七、教學反思

《幾何圖形初步》是七年上最后一章，這一章主要學習了基本圖形概念的抽象，圖形的表示，作圖，對幾何語言的學習、運用等，這些都是幾何學習的起始基礎(chǔ)，而概念的抽象是這一節(jié)課學習的重點也是難點，學生能用準確的數(shù)學語言表達抽象出的概念更是學生在初學幾何時的一大障礙，因此我設(shè)計了探究的形式對角的定義展開研究.
在小學學生已經(jīng)能夠熟練的從實際生活中抽象出角的形象，因此在教學設(shè)計時也沒有做過多糾纏，而是把重點放到了對角的本質(zhì)特征歸納、下定義、概念的辨析、到概念的精致及運用，在這些環(huán)節(jié)里.通過仔細觀察角的本質(zhì)特征，獨立思考后加以提取，再通過小組合作交流完善表述方式，使學生感受應(yīng)從哪些方面著手給幾何圖形下定義.通過展示同學們用不規(guī)范，不嚴謹?shù)恼Z言表述角引發(fā)學生們的思考，學生能從多角度辨析角的構(gòu)成要素，在不斷的否定、質(zhì)疑的過程中逐漸加深對角的認識，形成概念的雛形.再在不斷的糾正過程中不斷精致自己的數(shù)學語言，以便能達到準確、簡練.但是在設(shè)計中也存在著不足，本章是幾何部分的起始，雖然小學已有一些幾何經(jīng)驗，但還是停留在表面比較粗淺，也沒有對幾何圖形在語言表述上做過訓練，因此學生在給角下定義時出現(xiàn)的狀況五花八門，為了能在短暫的課堂上讓學生能夠用數(shù)學語言描述出角的特征和由來，還要闡述角和相關(guān)的對象之間的區(qū)別和聯(lián)系，沒有辦法對同學們所出現(xiàn)的問題一一進行分析、研究，只能在數(shù)學活動環(huán)節(jié)選取有代表性的幾類，在課堂上展示分析.
角的概念是從靜態(tài)和動態(tài)兩種角度研究的，而動態(tài)的定義將角研究的范圍拓寬了，為讓學生更好的理解角的概念的內(nèi)涵和外延，建立數(shù)學抽象的能力和空間觀念.這個環(huán)節(jié)用了幾何畫板做以輔助，學生能清晰的感受到角的形成過程. 但由于個人在課件制作方面的技術(shù)有限，很多效果還是達不到完美，因此今后的教學過程中，不但要在教學方法和技巧方面繼續(xù)學習，還要在信息技術(shù)方面加強研究，以便能把設(shè)想的教學環(huán)節(jié)，更好的表現(xiàn)出來.

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