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視頻課題：第十二屆全國初中青年數學教師課例展示與研討活動課《三角形的中位線》浙江—周宋

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《三角形的中位線》浙江—周宋

《4.5三角形的中位線》教學設計
一、教學內容及其解析
1.教學內容
本節課選自浙教版八年級下冊第四章第五節的內容，主要研究三角形的中位線的概念、性質以及簡單應用.
2.內容解析
三角形的中位線是三角形中的一條重要線段，其性質是三角形的重要結論，所顯示的特點既有線段的位置關系，又有線段的數量關系，是證明線段平行和線段倍分關系的重要依據，是今后研究其他幾何圖形的重要工具.三角形中位線定理的證明過程需要通過對線段加倍或折半，從而將三角形轉化為平行四邊形來解決問題，其中滲透了轉化與化歸的思想方法.
二、學生學情分析
從學生的學習起點來看，在此之前，學生已經學習了全等三角形，平行四邊形和中心對稱，為本課的學習打下了堅實基礎.同時，在此之前，學生已經接觸過三角形的中線、高線、角平分線，對三角形中的特殊線段和幾何圖形的研究積累了一定的經驗.這為本節課的學習提供了可借鑒的思路和方法.
三、教學目標、重難點分析
基于以上的分析，本節課的教學目標是:
（1）了解三角形的中位線的概念，理解三角形的中位線性質，并會應用中位線的性質解決一些實際問題，感受三角形中位線定理的應用價值.
（2）經歷三角形中位線定理的形成過程，體會研究幾何圖形的一般路徑和常用方法，積累幾何學習的基本經驗，發展學生的幾何直觀和邏輯推理能力，潛移默化地滲透數學思想方法.
本節課的教學重點是三角形中位線性質的探究與應用，體會研究幾何圖形的一般路徑和常用方法，發展學生的幾何直觀和邏輯推理能力，潛移默化地滲透數學思想方法.
三角形中位線定理的證明需要通過添加輔助線把三角形轉化為平行四邊形，再利用平行四邊形的知識來解決問題，這對學生有一定困難，所以定理的證明是本節課的一個難點.
四、教學策略分析
學生的學習需要兩個轉化過程：一把教材的知識結構向學生的認知結構轉化，二是把學生的認知結構轉化為智能，在這過程中教會學生思考比教給學生知識方法更重要.因此在課堂中我采用啟發式、互動式、探究式等教法，突出自主探究、合作學習，引導學生通過自主思考、互動研討，經歷三角形中位線定義、性質探究的全過程，突出教學重點.在問題解決的過程中，鼓勵學生一題多解，創造機會讓學生展學，突破教學難點.
五、教學過程設計
（一）詩歌朗誦，引入“中點”
望著高高的藍天，
你心有鴻鵠之志，
卻不知從何飛起.
因為目標太高，理想太遠.
那么，來吧!
我們不妨把目標和理想都除以2，
選擇“中點”作為你奮斗的階梯，
這樣既能看清目標，又能把握方向.
【設計意圖】“中點”在人生旅途中是一個有意義有哲理的存在，通過詩歌由生活中的“中點”引入數學中的“中點”，激發學生的學習興趣.
（二）知識回顧，引入新課
【想一想】如圖，點C是線段AB上的任意一點，點D和點E分別是線段AC和線段BC的                                                                                                                                                                                                                                               中點.
（1）若AB=10，則DE=          ；
（2）線段DE和線段AB有什么關系？

 
追問：當點C移動到直線AB的外面，構造△ABC，點D和點E仍然分別是線段AC和線段BC的中點，線段DE和邊AB有什么關系？
 
 
 
 
【設計意圖】教材中利用測池塘的寬度來引出定義，這樣的引入，可能會受到誤差的影響，且思維含量不高，因此我對課題的引入進行了改編，以學生熟悉的線段雙中點問題為生長點，將線段AB上動點C延伸到AB外，這樣，從學生的已有認知基礎出發提出新的研究對象，順應學生的認知規律，自然引出三角形中位線概念，揭示本節課的課題，同時也引發認知沖突，激發思維碰撞，由此明確本節課要研究的主題——三角形的中位線與第三邊存在怎樣的關系？
（三）合作交流，探索新知
【猜一猜】探究等邊三角形，等腰直角三角形和一般三角形中中位線DE與第三邊AB的關系.

 
 
 
 
【設計意圖】教師引導學生經歷研究幾何對象的一般思路：概念---性質---應用，讓學生聚焦三角形中位線的性質.本環節中問題的設計讓學生經歷從特殊到一般的思維過程，在逐級深入的思考中猜想出一般三角形中位線與第三邊的關系，從而自然地向學生滲透幾何性質研究的一般方法.
【證一證】猜想：△ABC 的中位線DE平行且等于AB的一半.
已知：如圖在△ABC中，點D和點E分別是邊AC和BC的中點.
求證： DE   AB         
方法一：倍長法
延長DE至F，使EF=DE
可得△CDE≌△BFE
∴BF=CD且∠C=∠C BF
∴BF   AD
∴四邊形ABFD是平行四邊形
∴DE   AB
方法二：從中心對稱入手，以運動方式看幾何，其核心環節是△CDE繞點E旋轉  得到△BFE（點C旋轉至與點B重合，點D旋轉至與點F重合），則①D、E、F共線，② DE =EF，③△CDE≌△BFE
∴BF=CD且∠C=∠C BF
∴BF   AD
∴四邊形ABFD是平行四邊形
∴DE   AB
方法三：折半法
取AB中點記為F，連結FE，過點C作AB的平行線，交FE的延長線于點G
∵CG//AB
∴∠G=∠EFB
又∵CE=BE，∠CEG=∠BEF
∴△CEG≌△BEF
∴EF=EG，CG=BF
∵CG//AB且AF=BF
∴CG   AF
∴四邊形AFGC是平行四邊形
∴AC  FG
∵AD=CD，EF=EG
∴AD  EF
∴四邊形AFED是平行四邊形
∴DE  AF
∴DE   AB
學生在自主學習的基礎上，通過小組合作探究并證明三角形的中位線定理，并以兩種不同的方式展示討論結果.教師追問：除了補短之外，還有沒有其他方法？引出折半的輔助線方法，留給學生課后思考. 其實三種解題方法只是輔助線的添法不同，本質上都是構造平行四邊形.

倍，半半、半

折半

相 等半、半

加倍

【設計意圖】先歸納推理，從特殊到一般發現結論，再演繹推理，運用轉化思想證明結論，讓學生經歷“觀察——猜想——證明——表述”的幾何性質探究的全過程，養成良好的數學學習方式和思維方式.定理證明中將線段之間的平行和倍分關系轉化為加倍后線段之間的平行且相等關系，從而將三角形問題轉化為平行四邊形問題，這是推理思想下的命題轉化方法，這些推理思想和具體轉化方法在科學研究中應用廣泛，因此三角形的中位線定理的證明過程附載數學思想方法的學習，也為證明兩直線平行和線段的倍分關系提供重要思路.
（四）層層遞進，智海揚帆
應用1.學校要測量池塘的寬AB，方法如下：在池塘外取點C，得到線段AC，BC，并取AC，BC的中點D，E，連結DE.只要測出DE的長，就可以求得寬AB.
問1：你認為這個方法正確嗎？請說明理由.
問2：如果線段DE被阻隔了而無法直接測量，那你能不能在點C不動的情況下找到解決辦法？
【設計意圖】應用1是書本中的一道作業題，我進行了適當的改編.在解決這個實際問題的時候需要學生將其抽象為數學問題，并應用轉化思想將測量AB長轉化為測量其對應的中位線長，第（2）問能進一步提升學生對中位線定理的應用能力，同時滲透數學文化“謝爾賓斯基三角形”.
應用2.如圖在△ABC中，點D，點E和點F分別是△ABC三邊的中點，連結DE，DF和EF，針對這個圖形，你能提出哪些數學問題？
 
 
【設計意圖】應用2的設計是以這一基本圖形為立足點讓學生自己提出問題，適應不同層次學生的需求，鼓勵學生多角度展開思考，促進學生思維發散性、靈活性、創造性地發展，把課堂再次推向高潮.
應用3.如圖，已知點E,點F，點G，點H分別是四邊形ABCD四邊的中點，連結EF，FG，GH和HE.
（1）判斷四邊形EFGH的形狀，并說明理由.
（2）若AC=BD，則EF和EH有什么關系？
（3）若AC⊥BD，則EF和EH有什么關系？
【設計意圖】這是書本例題的改編題，是三角形中位線定理在數學內部的應用，讓學生嘗試先猜想再證明的探究歷程，同時讓學生積累四邊形問題轉化為三角形問題的數學經驗，滲透轉化的思想.問題（1）說明一種常用輔助線---遇中點構造三角形中位線，一題多解，提高學生對定理的應用能力；問題（2）（3）說明一個規律---中點四邊形的形狀決定于原四邊形對角線之間的關系，引導學生由一般四邊形發散、拓展到特殊四邊形，為后續的學習埋下伏筆.
（五）小結升華，明晰方法.
  
 
 
 
 
 
 
 
【設計意圖】通過小結與反思引導學生小結本課所學的基礎知識和基本思想方法，更重視對研究歷程、研究方法的反思感悟，提升學生的元認知水平.
（六）詩歌朗誦，前后呼應
現在，看吧！
目標與理想并非遙不可及，
一步一步攀上“中點”，
讓你擁有自信不再放棄；
一步一步攀上“中點”，
讓你的目標與理想日漸清晰.
【設計意圖】詩歌朗誦，結束課堂，前后呼應.整節課的學習過程，其實就是一個不斷攀登知識高峰的過程，教師所做的事，其實就是設置學習的“中點”，讓學生能有攀登的階梯，一步一步攀上知識的高峰.

• 課堂教學目標檢測

課后檢測是對課堂的檢測、鞏固與提升．根據學情，在作業設計上，保留了課本的配套練習，對教材中課后作業和課堂拓展問題進行了整合．
必做題：作業本《4.5 三角形的中位線》.
選做題：如圖，在四邊形ABCD中，點 E、點Q 、點F 、點P分別是四邊形ABCD四邊的中點，連結EF和PQ．
（1）探究AD+BC與EF的關系；
（2）探究EF+PQ與四邊形ABCD的周長的關系．
七、教學思路設計說明
（一）合理改編教材，激發學生思維
教材中的引入是一個實際生活題：測量池塘的寬AB，方法如下：在池塘外取點C，得到線段AC，BC，并取AC，BC的中點D，E，連結DE.只要測出DE的長，就可以求得寬AB.你認為這個方法正確嗎？
用實際生活中的事件引入能激發學生的學習興趣，但因為測量存在誤差，且思維含量不高.因此我將教材中的引入進行了改編：通過線段的雙中點問題拓展延伸到三角形的雙中點問題，是學生想得到、提得出新的研究對象的關鍵，以已經研究過的幾何對象為先行組織者，引導學生規劃、設計三角形中位線的概念和性質也就水到渠成了．
（二）深入挖掘教材，滲透思想方法
一節課的學習不能僅停留在教材表面的內容和知識，還應該深入挖掘教材提供的素材，為學生提供更多的學習策略和方法．對三角形中位線的研究充分應用了推理的基本思想，如從特殊到一般猜想結論，這是推理思想下一般化的轉化方法；由一般四邊形到特殊四邊形研究中點四邊形，這是推理思想下特殊化的轉化方法；定理證明中將線段之間的平行和倍分關系轉化為加倍后線段之間的平行且相等關系，從而將三角形問題轉化為平行四邊形問題，這是推理思想下的命題轉化方法，這些推理思想和具體轉化方法在科學研究中應用廣泛．數學基本思想應有意識地不斷向學生滲透，課堂教學時讓學生在應用中感悟，課堂小結時讓學生在反思中明晰，后續學習時讓學生在有意識的應用中強化．
（三）回歸教材本真，培育核心素養
本節課對教材進行了合理地挖掘，將書本例題中四邊形的對角線特殊化后，得出了中點四邊形與原四邊形對角線之間的關聯，為學生解決中位線的應用提供了腳手架，大大降低了問題解決的難度．課堂小結環節，拋給學生兩個問題：本節課我們主要研究了什么內容？我們又是如何研究的？組織學生對本節課進行小結，讓學生更加明確幾何圖形的研究路徑，提高總結和歸納的數學抽象能力，進一步培育學生的核心素養．
 
 

浙教版八年級下冊4.5《三角形的中位線》評課稿

周宋老師執教的“三角形的中位線”這節課，貴在理念，巧在設計，勝在生成.
1.貴在理念，使課堂富有活力.學生是學習的主人，新課程四能目標的達成離不開學生的親身實踐.周老師正是圍繞“突出學生主體地位”這一理念進行教學設計和實施課堂教學.通過研究方法的領略、數學思想的培植、思維過程的歷經、問題解決的品析，讓學生從整體的角度充分經歷三角形的中位線概念、性質探究和應用的全過程，讓知識自然生成.
2.巧在設計，讓教學回歸本真.凸顯數學本質，促進學生思維是數學教學的本真.周老師立足教材匠心獨運，進行了“前后一致、邏輯連貫”的教學設計.在引入環節，從線段上的雙中點問題拓展到點C在線段AB外，自然地引出三角形的中位線這一新授內容，使知識得以邏輯上的連貫.三個應用從“中位線的基本圖形”——“中點三角形”——“中點四邊形”依次展開，既有例題的原創也有對教材例題的再創造，問題設計的層次性和開放性使思維既有廣度又有深度.節前和節后應景的小詩也給課堂增添了人文性.
2.勝在生成，讓學習真正發生.在教學過程中，以問題驅動教學，層層推進，課堂有高度有思維.如在定理教學環節，讓學生經歷了觀察——猜想——證明——表述的過程，在猜想過程中又采用了從特殊到一般的數學方法，使教學站在了數學方法和數學思想的高度.又如在“中位線定理的證明”環節，通過小組合作、成果展示與教師引領等多樣而適切的教學方式，引導學生展開多角度、多方位的思維活動，在有效突破了教學難點的同時也鞏固了三角形與四邊形的轉化思想和“線段截長補短”的數學方法，同時證法3的留空使學生的思維活動從課堂延伸到課后.周老師的親和力和簡練而準確的教學語言也使課堂教學自然流暢.
 

 

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