視頻標(biāo)簽：第十二屆全國初中青年

所屬欄目：初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：第十二屆全國初中青年數(shù)學(xué)教師課例展示與研討活動(dòng)課《19.2.1 正比例函數(shù)》湖北—吳娜

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《19.2.1 正比例函數(shù)》湖北—吳娜

 19.2.1 正比例函數(shù)
（2課時(shí)，單元-課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)）

湖北省襄陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 吳娜

• 內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容
正比例函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).
本單元教學(xué)需兩課時(shí)，第1課時(shí)主要學(xué)習(xí)正比例函數(shù)的概念，第2課時(shí)重點(diǎn)研究正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì).
2.內(nèi)容解析
（1）內(nèi)容的本質(zhì)
本單元是學(xué)生學(xué)習(xí)特殊函數(shù)的第一階段，在初步認(rèn)識函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，具體討論正比例函數(shù)這類最簡單的初等函數(shù).正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)，它是初中函數(shù)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，通過正比例函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，既加深對函數(shù)概念的理解，又加強(qiáng)對正比例變化規(guī)律的認(rèn)識.通過圖象，可以直觀地得到函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合解析式，可以進(jìn)一步認(rèn)識函數(shù)的性質(zhì).通過研究正比例函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，可以獲得初中函數(shù)研究的一般步驟（下定義—畫圖象—觀察圖象—歸納性質(zhì)），為今后學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)做好鋪墊.

1. 內(nèi)容蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法

本單元主要涉及了模型思想、從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法.通過對現(xiàn)實(shí)生活和數(shù)學(xué)問題的分析，發(fā)現(xiàn)變量間的函數(shù)關(guān)系，列出各種函數(shù)關(guān)系式，建立函數(shù)模型；通過觀察、分類，從最特殊的函數(shù)開始研究，逐步體會從特殊到一般的研究思路，初步感悟初中常見函數(shù)的一般特征；通過從圖象和解析式兩個(gè)方面結(jié)合研究函數(shù)性質(zhì)，體會數(shù)形結(jié)合研究函數(shù)變化規(guī)律的一般方法.通過研究正比例函數(shù)可以獲得初中函數(shù)研究的一般思路，一般方法，發(fā)展數(shù)學(xué)觀察、抽象概括和推理能力.

1. 知識的上下位關(guān)系

學(xué)生學(xué)習(xí)本單元的知識基礎(chǔ)有：正比例關(guān)系的概念，函數(shù)的概念及三種表示方法．通過對正比例函數(shù)的學(xué)習(xí)，可以獲得初中函數(shù)研究的一般步驟，一般思路和一般方法，對后續(xù)進(jìn)一步研究其他類型的函數(shù)具有奠基作用.
（4）內(nèi)容的育人價(jià)值
在正比例函數(shù)的概念及性質(zhì)的學(xué)習(xí)過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷初中函數(shù)研究的基本套路，體會函數(shù)研究思想的一致性和方法的普適性.在應(yīng)用函數(shù)知識解決實(shí)際問題的過程中，經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全過程，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界．通過本單元基礎(chǔ)知識和基本技能的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生積累函數(shù)學(xué)習(xí)基本經(jīng)驗(yàn)，掌握函數(shù)學(xué)習(xí)基本方法，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
3．教學(xué)重點(diǎn)
理解正比例函數(shù)的概念，由正比例函數(shù)的圖象，并結(jié)合解析式，探究正比例函數(shù)的性質(zhì).

• 目標(biāo)與目標(biāo)解析

1. 單元目標(biāo)

（1）結(jié)合具體情境體會正比例函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定正比例函數(shù)的表達(dá)式.
（2）能畫出正比例函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象和表達(dá)式y(tǒng)=kx(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0時(shí)，圖象的變化情況，歸納得到正比例函數(shù)的圖象特征和性質(zhì).
（3）在畫出正比例函數(shù)的圖象，并探究其性質(zhì)的過程中，體會“分類討論”“數(shù)形結(jié)合”以及“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想.
（4）進(jìn)一步感受函數(shù)知識內(nèi)在的系統(tǒng)性，初步體會函數(shù)研究的一般思路與方法，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他函數(shù)積累經(jīng)驗(yàn).

2. 目標(biāo)解析

達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志是：通過對實(shí)際問題和數(shù)學(xué)問題的分析，確定正比例函數(shù)的解析式，抽象概括得出正比例函數(shù)的概念，知道自變量和對應(yīng)的函數(shù)值成正比例的特征.       
達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志是：會根據(jù)解析式使用“描點(diǎn)”法畫出正比例函數(shù)的圖象，分析圖象特征，歸納得到正比例函數(shù)的性質(zhì).
達(dá)成目標(biāo)（3）的標(biāo)志是：在畫正比例函數(shù)圖象、探究正比例函數(shù)性質(zhì)時(shí)，體會“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化；通過具體的圖象并結(jié)合解析式，歸納得到正比例函數(shù)的性質(zhì).
目標(biāo)（4）是指在正比例函數(shù)的初步探究過程中，讓學(xué)生體會對函數(shù)的研究實(shí)際上就是對函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)及應(yīng)用的研究.
三、學(xué)生學(xué)情分析
1．問題診斷
學(xué)生在小學(xué)學(xué)過正比例關(guān)系，實(shí)際上，實(shí)際問題中的正比例關(guān)系是正比例函數(shù)中比例系數(shù)為正的特殊情況，學(xué)習(xí)過程中要回顧類比正比例關(guān)系.學(xué)生雖已學(xué)過函數(shù)的基本概念，但理解未必深刻.在對實(shí)際問題和數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分析過程中，需加強(qiáng)對函數(shù)概念的理解；對于自變量每一個(gè)確定的值，有唯一確定的值與之對應(yīng).正比例函數(shù)的特殊性在于兩個(gè)變量的比值是定值，且為不等于零的實(shí)數(shù)，這是小學(xué)正比例關(guān)系的內(nèi)涵的深化.在正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)的教學(xué)中，應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生體會由“形”助“數(shù)”和以“數(shù)”析“形”，“數(shù)” “形”結(jié)合展開探究活動(dòng).
2．教學(xué)難點(diǎn)
本單元的教學(xué)難點(diǎn)是：抽象得到正比例函數(shù)概念，歸納得到正比例函數(shù)性質(zhì).
四、教學(xué)策略分析
根據(jù)本節(jié)課內(nèi)容的特點(diǎn)及學(xué)生的實(shí)際情況，主要采用師生互動(dòng)探究式教學(xué)。在教學(xué)過程中遵循“教為主導(dǎo)，學(xué)為主體”的教學(xué)思想。教學(xué)中采用自主探索與合作交流的學(xué)習(xí)方法，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下積極參與教學(xué)過程，親身實(shí)踐知識的發(fā)生、發(fā)展、形成的認(rèn)知過程。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程中展開思維，在過程中體驗(yàn)合作交流的快樂。

• 課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)

19.2.1正比例函數(shù)（第1課時(shí)）
（一）課時(shí)教學(xué)內(nèi)容
正比例函數(shù)的概念

• 課時(shí)教學(xué)目標(biāo)

1.課時(shí)目標(biāo)
（1)理解正比例函數(shù)的概念,能判斷兩個(gè)變量之間的關(guān)系是否為正比例函數(shù)關(guān)系，能夠根據(jù)已知條件，確定正比例函數(shù)的解析式．
（2)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、分析、分類、抽象、歸納的認(rèn)識正比例函數(shù)概念的全過程，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他函數(shù)積累經(jīng)驗(yàn).
（3)進(jìn)一步感受函數(shù)知識內(nèi)在的系統(tǒng)性，初步體會函數(shù)研究的一般思路與方法.
2.目標(biāo)解析
達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志是：通過對實(shí)際問題和數(shù)學(xué)問題的分析，抽象概括得出正比例函數(shù)的概念，知道自變量和對應(yīng)的函數(shù)值成正比例的特征.能根據(jù)問題中的變量關(guān)系，確定正比例函數(shù)的解析式．
達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志是：在正比例函數(shù)概念的探究過程中，能通過觀察、比較、分析、分類、抽象、歸納，對不同函數(shù)特征有整體上的初步認(rèn)識，體會函數(shù)概念學(xué)習(xí)的一般方法.
目標(biāo)（3）是指在正比例函數(shù)的初步探究過程中，讓學(xué)生體會對函數(shù)的研究實(shí)際上就是對函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)及應(yīng)用的研究.
（三）課時(shí)教學(xué)重點(diǎn)
理解正比例函數(shù)的概念，初步體會函數(shù)研究的一般思路與方法.
（四）課時(shí)教學(xué)難點(diǎn)
抽象得到正比例函數(shù)概念的過程．
（五）教學(xué)過程設(shè)計(jì)
1.復(fù)習(xí)回顧，類比預(yù)見函數(shù)學(xué)習(xí)路徑
函數(shù)是解決實(shí)際問題的模型，回顧其他數(shù)學(xué)模型的學(xué)習(xí)內(nèi)容，預(yù)想函數(shù)的后繼學(xué)習(xí)內(nèi)容.

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧函數(shù)的已學(xué)知識，借助回顧其他數(shù)學(xué)模型的學(xué)習(xí)內(nèi)容，類比預(yù)見函數(shù)的學(xué)習(xí)路徑——從特殊的函數(shù)開始學(xué)習(xí).
設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)函數(shù)的已學(xué)知識，通過回顧其他數(shù)學(xué)模型的研究框架，幫助學(xué)生體會數(shù)學(xué)模型的一般研究方法與路徑，為后續(xù)學(xué)習(xí)特殊的函數(shù)正比例函數(shù)作鋪墊.重現(xiàn)方程與方程組、不等式的學(xué)習(xí)路徑，完善數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)的一般路徑.

2. 創(chuàng)境列式，自主經(jīng)歷函數(shù)模型建立

問題1 京滬高鐵自2011年至今已開通運(yùn)營十周年，累計(jì)發(fā)送旅客13億人次，京滬高鐵全長1318km.設(shè)列車的平均速度為300km/h.考慮以下問題：

1. 在京滬高鐵列車行駛過程中，涉及到哪些量？哪些量是變量？
2. 哪兩個(gè)變量間是函數(shù)關(guān)系？試說明理由，并寫出它們之間的函數(shù)關(guān)系式.
3. 中國正在研發(fā)超級高鐵，超級高鐵列車駛完全程所需時(shí)間t（單位：h）與行駛速度v（單位：km/h）之間有何數(shù)量關(guān)系？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生分析問題中的數(shù)量關(guān)系，寫出變量之間的函數(shù)解析式.
設(shè)計(jì)意圖：通過分析實(shí)際問題，建立函數(shù)模型，讓學(xué)生感受量與量之間的函數(shù)關(guān)系，體會在同一個(gè)問題背景下，當(dāng)選擇的常量和變量不同時(shí)，列出的函數(shù)解析式也不相同，幫助學(xué)生逐步提高將實(shí)際問題抽象為函數(shù)模型的能力，初步體會函數(shù)建模思想，讓學(xué)生真切感受數(shù)學(xué)與實(shí)際的聯(lián)系，即數(shù)學(xué)來源于生活又服務(wù)于生活．
練習(xí)1.列式表示下列問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系.

1. 圓的周長l隨半徑r的變化而變化．

（2）正方形的面積S隨邊長x的變化而變化．
（3）鐵的密度為7.9g/cm³,鐵塊的質(zhì)量m（單位：g）隨它的體積V（單位：cm³）的變化而變化．
（4）冷凍一個(gè)0℃的物體，使它每分鐘下降2℃，物體的溫度T（單位：℃）隨冷凍時(shí)間t（單位：min）的變化而變化．
師生活動(dòng)：教師出示問題，學(xué)生獨(dú)立完成，學(xué)生代表分析并展示結(jié)果.
設(shè)計(jì)意圖：給出不同的實(shí)際情景，讓學(xué)生進(jìn)一步感知在豐富的背景下蘊(yùn)涵的函數(shù)關(guān)系，體會并運(yùn)用函數(shù)建模思想，提高將實(shí)際問題抽象為函數(shù)模型的能力，為下一步探究正比例函數(shù)的概念做準(zhǔn)備．培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界.

3. 互助探究，歸類分析函數(shù)典型特征

問題2 觀察上面列出的函數(shù)解析式，它們有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，小組討論：
你能試著給它們分類嗎？你的分類依據(jù)是什么？并試著給每一類函數(shù)起一個(gè)名字.
師生活動(dòng)：教師提出問題，學(xué)生先獨(dú)立思考，然后小組合作討論，小組代表上臺展示不同的分類方法.根據(jù)學(xué)生不同的分類方法，幫助其鞏固整式、分式、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式的概念，形成正確的分類方法.                 

設(shè)計(jì)意圖：在觀察、比較中，學(xué)生自主探究不同函數(shù)解析式的聯(lián)系與區(qū)別并分類,培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、歸納的能力，明確特殊函數(shù)的分類是以解析式的特征為分類標(biāo)準(zhǔn)的，形成函數(shù)概念的整體思想，發(fā)展學(xué)生的抽象概括能力.
追問：
 
一次函數(shù)中的這六個(gè)解析式又有什么不同呢？
師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生再次觀察、比較、分類，得出
是特殊的一次函數(shù)，理解正比例函數(shù)與一次函數(shù)之間的關(guān)系.
設(shè)計(jì)意圖：在觀察、分析中，學(xué)生自主探究正比例函數(shù)與一次函數(shù)之間的關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)語言，形成學(xué)生對一次函數(shù)的整體認(rèn)識，同時(shí)感受正比例函數(shù)相對一次函數(shù)的特殊性，感悟從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想.

4. 對比聯(lián)系，抽象歸納函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)定義

問題3 這一類函數(shù)解析式有什么共同特征？
師生活動(dòng)：學(xué)生觀察、分析、表達(dá)，教師適時(shí)引導(dǎo).
設(shè)計(jì)意圖：通過對實(shí)際問題抽象出的函數(shù)模型觀察、比較、分類，找出它們具有的共同特征即形式上都是函數(shù)=常量×自變量，為歸納抽象正比例函數(shù)的概念作準(zhǔn)備．
追問1：你能否歸納出這種函數(shù)的一般形式？小學(xué)知識告訴我們這兩個(gè)變量是具有什么關(guān)系的量？k可以取哪些值？
師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生歸納出這些函數(shù)的一般形式，即都可以寫成y=kx的形式．試著喚醒小學(xué)學(xué)習(xí)的正比例的知識，得出函數(shù)值與對應(yīng)自變量的比值一定．引導(dǎo)學(xué)生對一般式中的常數(shù)k的取值進(jìn)行探究.
設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)共同特征歸納抽象出正比例函數(shù)的一般形式，培養(yǎng)學(xué)生從具體問題中抽象出共同具有的本質(zhì)屬性的能力，知道一般形式中各字母的意義，為給正比例函數(shù)下定義埋下伏筆．
追問2：你能試著給正比例函數(shù)下定義嗎？
一般地，形如y=kx（k是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù).
師生活動(dòng)：師生共同歸納出正比例函數(shù)的概念．
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)函數(shù)解析式的形式和變量間具有的正比例關(guān)系，得出正比例函數(shù)的定義，培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納的能力.

5. 分層練習(xí)，鞏固加深函數(shù)知識理解

練習(xí)2.下列式子中，哪些表示y是x的正比例函數(shù)？如果是，比例系數(shù)是多少？
；
第（4）題追問：y與x-1之間是什么關(guān)系？y是x-1的正比例函數(shù)嗎？
設(shè)計(jì)意圖：通過辨析讓學(xué)生鞏固對正比例函數(shù)概念的理解，再次了解初中階段將要學(xué)習(xí)的三種特殊函數(shù)，內(nèi)化學(xué)生函數(shù)學(xué)習(xí)的系統(tǒng)觀，從而發(fā)展學(xué)生的整體思維.
練習(xí)3.下列問題中，變量之間的關(guān)系不是正比例函數(shù)的是(  ).
A.每本書的厚度為0.5cm,一摞書的總厚度h與數(shù)量n的關(guān)系.
B.圓的面積s與半徑r的關(guān)系.
C.某人一年(12個(gè)月)的總收入W與平均收入q的關(guān)系.
D.買某種作業(yè)本所需的錢數(shù)y（元）與數(shù)量x（本）的關(guān)系.
設(shè)計(jì)意圖：通過練習(xí)讓學(xué)生鞏固對正比例函數(shù)概念的認(rèn)識和將實(shí)際問題抽象為函數(shù)模型的能力．
練習(xí)4.（1）你能試著舉出生活中正比例函數(shù)的例子嗎？
（2）根據(jù)上述解析式y(tǒng)=2x填表.

x	…					1	2	3	…
y	…	-6	-4	-2	0				…

 
追問1：觀察解析式和表格，你能發(fā)現(xiàn)y隨x變化而變化的過程中有怎樣的規(guī)律嗎？
（3）請同學(xué)們試著用描點(diǎn)法畫出y=2x的圖象.
追問2：觀察圖象，你又有什么發(fā)現(xiàn)？其它的正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)又是怎樣的呢？下節(jié)課我們將進(jìn)一步利用正比例函數(shù)的圖象研究它的性質(zhì).
師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生先從解析式和表格觀察函數(shù)y=2x的變化規(guī)律，再用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象，觀察圖象初步感受函數(shù)y=2x的性質(zhì)，并由函數(shù)y=2x的圖象性質(zhì)的探究過程，得到其他函數(shù)研究的一般方法和路徑.
設(shè)計(jì)意圖：通過讓學(xué)生動(dòng)手畫函數(shù)圖象，觀察圖象，感知函數(shù)的性質(zhì),體會數(shù)形結(jié)合的思想，為下一節(jié)更深入、全面的學(xué)習(xí)函數(shù)的圖象、性質(zhì)做好鋪墊.初步展示函數(shù)研究的一般方法和路徑，內(nèi)化學(xué)生函數(shù)學(xué)習(xí)的系統(tǒng)觀，培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)研究的整體觀.

6. 梳理總結(jié)，反思感悟函數(shù)研究方法

教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：

1. 這節(jié)課主要學(xué)習(xí)的是哪一類函數(shù)？我們是怎樣想到先研究正比例函數(shù)的？
2. 我們先研究正比例函數(shù)的哪些知識？我們是怎樣得到正比例函數(shù)的概念的？
3. 我們還將研究正比例函數(shù)的哪些知識？怎樣研究？
4. 按照由特殊到一般的思想，今后我們將繼續(xù)學(xué)習(xí)哪類函數(shù)呢？按照怎樣的路徑學(xué)習(xí)呢？

設(shè)計(jì)意圖：通過歸納，加深學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容的理解，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立分析、歸納概括的能力,充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用.通過反思梳理，形成函數(shù)學(xué)法，利用這種研究方法，今后我們還可以研究其它類型的函數(shù).

7. 拓展探究，延伸理解函數(shù)圖象價(jià)值

請用描點(diǎn)法畫出下列函數(shù)的圖象，你有什么發(fā)現(xiàn)？

8.分層作業(yè)，分類促進(jìn)函數(shù)新知內(nèi)化
（1）必做題：課本98頁 第1,3題.
（2）選做題：在日常生活中，尋找正比例函數(shù)的實(shí)例，試著提出問題，畫出函數(shù)圖象（小組合作探究）.
設(shè)計(jì)意圖：以作業(yè)的鞏固性和發(fā)展性為出發(fā)點(diǎn)，分層布置作業(yè)，設(shè)計(jì)了基礎(chǔ)題和開放性的題目，基礎(chǔ)題是對本節(jié)課內(nèi)容的一個(gè)反饋，開放性的題目是讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.
板書設(shè)計(jì)
19.2.1正比例函數(shù)

函數(shù)分類

 
 
 
 
 
 
 
 

（六）課堂目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)
1.下列函數(shù)中，是正比例函數(shù)的是（    ）
①  ；②  ；③  ；④  ；⑤
A.①⑤        B.①②        C.③⑤        D.②④
2.列式表示下列問題中的y與x的函數(shù)關(guān)系，并指出哪些是正比例函數(shù).
（1）正方形的邊長為xcm，周長為ycm；
（2）一個(gè)長方體的長為2cm，寬為1.5cm，高為xcm，體積為ycm³ ；
（3）某超市中雞蛋價(jià)格是每千克9元，雞蛋的銷售收入y（單位:元）隨著銷售量x（單位：kg）的變化而變化.
設(shè)計(jì)意圖：通過練習(xí)讓學(xué)生鞏固對正比例函數(shù)概念的認(rèn)識和將實(shí)際問題抽象為函數(shù)模型的能力．
 
平中見奇  整體發(fā)力
                    ——對“正比例函數(shù)”一課的點(diǎn)評
           
當(dāng)下，單元整體教學(xué)研究如火如荼，已形成“核心素養(yǎng)-課程目標(biāo)-單元設(shè)計(jì)-課時(shí)計(jì)劃”的教學(xué)設(shè)計(jì)鏈條。課時(shí)教學(xué)成為教學(xué)的起點(diǎn)和根基，如何在課時(shí)教學(xué)中落實(shí)單元教學(xué)整體目標(biāo)顯得尤為重要。吳娜老師執(zhí)教的“正比例函數(shù)”一課，讓學(xué)生經(jīng)歷獲得研究對象，明確學(xué)習(xí)主線，積累研究方法，構(gòu)建知識體系這一完整的知識探究過程。   
一、明暗交錯(cuò)，整體建構(gòu)知識體系
正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)，是學(xué)生初中階段學(xué)習(xí)的第一類具體函數(shù)，它是函數(shù)研究的特例，具有函數(shù)的通性。學(xué)習(xí)正比例函數(shù)不僅可以加深學(xué)生對函數(shù)概念的理解，而且能夠?yàn)槠渌�具體函數(shù)的研究提供思路和方法。本節(jié)課從三個(gè)方面讓學(xué)生整體感知函數(shù)學(xué)習(xí)基本套路：一是讓學(xué)生感知函數(shù)模型的研究范圍（一次-二次-反比例）；二是整體體驗(yàn)函數(shù)研究方法（實(shí)際建模-分析歸納-辨析運(yùn)用）；三是總結(jié)函數(shù)知識的研究路徑（定義-圖象-性質(zhì)）， 實(shí)現(xiàn)了“用數(shù)學(xué)的方式發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量”教學(xué)價(jià)值。
二、類比分析，整體設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)
章建躍博士指出：要把如何發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對象、如何提出數(shù)學(xué)問題作為教學(xué)的關(guān)鍵任務(wù)，以實(shí)現(xiàn)從“知其然”到“知其所以然”，再到“知何由以知其所以然”的跨越。本節(jié)課緊扣“兩個(gè)如何”巧妙設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng)，平中見奇，一氣呵成。
一是源于教材，巧妙窺見函數(shù)形式全貌。這節(jié)課的問題情境來源于教材的京滬高鐵問題，吳老師讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)情景中的常量與變量，以及哪些變量之間存在函數(shù)關(guān)系，開放性的問題激發(fā)學(xué)生思維的積極性，增加問題“正方形的面積S隨邊長x的變化而變化”，不知不覺中學(xué)生列出了多樣的函數(shù)類型。
二是充分對比，實(shí)現(xiàn)一般到特殊的轉(zhuǎn)變。為什么從研究正比例函數(shù)開始研究特殊的函數(shù)？應(yīng)該是這節(jié)課的追問。吳老師用了足夠的時(shí)間開展小組討論交流、展示爭鋒，引導(dǎo)學(xué)生明確函數(shù)與其他數(shù)學(xué)模型有相同的研究路徑，即從特殊到一般的函數(shù)研究路徑。
三是善于聯(lián)系，凸顯核心概念共性本質(zhì)。正比例函數(shù)概念教學(xué)是本節(jié)課的重點(diǎn)，教學(xué)中學(xué)生經(jīng)歷了“情景與問題-共性分析與歸納-本質(zhì)特征的抽象下定義-關(guān)鍵詞辨析-簡單運(yùn)用聯(lián)系與綜合”的過程，讓學(xué)生在觀察、分析、歸納、概括中經(jīng)歷概念的抽象過程，注重學(xué)生對知識自然生成的理解。另一方面學(xué)生在小學(xué)學(xué)習(xí)了正比例關(guān)系，如何喚醒記憶、如何自然轉(zhuǎn)換？教學(xué)中通過學(xué)生觀察思考每個(gè)解析式的運(yùn)算關(guān)系，利用乘除互逆運(yùn)算，每個(gè)解析式中“函數(shù)值”與對應(yīng)“自變量”的比值等于什么？ 使得兩者快速建立聯(lián)系，并形成新的問題：兩者的區(qū)別是什么？伴隨著問題解決，教學(xué)重點(diǎn)得以突破。
三、瞻前顧后，整體梳理完善結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)知識之間都存在內(nèi)在聯(lián)系，數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法都具有高度系統(tǒng)化的特點(diǎn)。本節(jié)課利用學(xué)生課堂生成資源，深化概念理解，引出函數(shù)圖象、性質(zhì)的探究活動(dòng)，展示函數(shù)研究的一般路徑，為下一節(jié)課做好了鋪墊。在小結(jié)環(huán)節(jié)，通過問題串，引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)習(xí)研究全過程，指向明確，培養(yǎng)了學(xué)生自主建構(gòu)結(jié)構(gòu)體系的能力，積累了研究問題的方法，促進(jìn)了學(xué)生關(guān)鍵能力的發(fā)展。
 
 

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