視頻標(biāo)簽：根號(hào)2,不是有理數(shù)

所屬欄目：初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：人教版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)根號(hào)2為什么不是有理數(shù)教學(xué)河北省 - 滄州

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教學(xué)目標(biāo)： 
（一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 
1、通過拼圖活動(dòng)得出2，讓學(xué)生感受無理數(shù)產(chǎn)生的實(shí)際背景和引入的必要性. 
   2、能夠判斷2不是有理數(shù)，并說明理由. 3、進(jìn)一步認(rèn)識(shí)無理數(shù)的概念.  （二）能力訓(xùn)練要求 
 1、讓學(xué)生親自動(dòng)手做拼圖活動(dòng)得出2，感受無理數(shù)產(chǎn)生必要性，培養(yǎng)大家的動(dòng)手能力和合作精神. 
   2、通過回顧有理數(shù)的有關(guān)知識(shí)，能夠正確的推理和判斷，識(shí)別一些數(shù)據(jù)是否
為有理數(shù)，訓(xùn)練他們的思維判斷能力. （三）情感與價(jià)值觀要求  
1、激勵(lì)學(xué)生積極參與教學(xué)活動(dòng)，提高大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情. 
   2、引導(dǎo)學(xué)生充分進(jìn)行交流、討論與探索等教學(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)他們的合作與鉆研
精神. 
3、了解有關(guān)無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的知識(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，培養(yǎng)他們?yōu)檎胬矶鴬^斗的獻(xiàn)身精神.  教學(xué)重點(diǎn) 
1、讓學(xué)生經(jīng)歷2的發(fā)現(xiàn)過程，感受生活中確實(shí)存在著不同于有理數(shù)的數(shù).    2、會(huì)判斷2不是有理數(shù). 3、了解2是怎樣一個(gè)無理數(shù). 教學(xué)難點(diǎn) 
1、通過拼圖發(fā)現(xiàn)2的過程. 
   2、用反證法判斷2不是有理數(shù)的代數(shù)證法. 3、判斷2不是有理數(shù)的幾何證法. 教具準(zhǔn)備 
兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，四個(gè)腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，剪刀. 教學(xué)過程 
（一）、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入問題 
師：本章《實(shí)數(shù)》的學(xué)習(xí)中我們接觸到了一種數(shù)—開方開不盡的數(shù).這節(jié)課我們
 
                    
             
                    
                            就對(duì)其中一個(gè)數(shù)2來進(jìn)行研究.請(qǐng)問同學(xué)們，2是有理數(shù)還是無理數(shù)？ 生：無理數(shù) 
師：為什么2不是有理數(shù)？ 生：因?yàn)樗�是無限不循環(huán)小數(shù). 
師：在很早的時(shí)候，偉大的希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯曾經(jīng)說過“萬物皆數(shù)”，意思是說，一切量都可以用整數(shù)或分?jǐn)?shù)來表示.今天，我們就追隨前人的腳步，來證明為什么2不是有理數(shù). （二）、回顧舊知，直奔主題 1、回顧舊知 
師：有理數(shù)是怎樣定義的？ 生：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù). 
2、兵分兩路，證明2既不是整數(shù)，又不是分?jǐn)?shù) 活動(dòng)1: 證明2不是整數(shù) 
教師拿出教具——四個(gè)腰長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的等腰直角三角形拼成兩個(gè)正方形，貼在黑板上，學(xué)生在草稿紙上畫腰長(zhǎng)為1分米的等腰直角三角形.  師：誰能告訴我你們所畫的等腰直角三角形斜邊是幾呢？ 生：2 
師：誰能證明一下它的長(zhǎng)度？ （小組交流，動(dòng)手裁紙，動(dòng)手拼圖） 師：哪個(gè)組已經(jīng)得出結(jié)論？ 
學(xué)生踴躍的到講臺(tái)上展示自己的成果，證明由四個(gè)腰長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的等腰直角三角形拼成的一個(gè)大正方形邊長(zhǎng)為2,即腰長(zhǎng)為1分米的等腰直角三角形的斜邊為2.     
 
1 
1 1 
1 
                    
             
                    
                            師：趕緊動(dòng)手量一量吧，2大約是多少？ 生：1.4分米，1.5分米 
師：總而言之，2的值在1和2之間，所以它不是整數(shù). 活動(dòng)2: 證明2不是分?jǐn)?shù) 
師：2是分?jǐn)?shù)嗎？由于這個(gè)問題證法比較抽象，所以它的證明過程我們引入一種新的方法—反證法.也就是說我們可以先假設(shè)2是分?jǐn)?shù)，然后再推出矛盾，從而宣布它不是分?jǐn)?shù). 
追問：假設(shè)2是分?jǐn)?shù)，那么它就可以寫作q
p
=2（qp,是兩個(gè)互質(zhì)的正整數(shù)），哪位同學(xué)可以推出其中的矛盾. 
學(xué)生獨(dú)立思考，動(dòng)筆計(jì)算.教師派代表說說自己的感悟. 教師引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)和幾何兩個(gè)角度突出矛盾. 師：(提問并板演) q
p
=
2，即qp2=，222qp=.這說明什么？ 生：2p是偶數(shù),因?yàn)閜為正整數(shù)，則p也是偶數(shù). 師：那q呢？ 
自己分析后，小組討論. 生：2
2
2
pq=
，p是偶數(shù)，則2q是偶數(shù)，從而得出q也是偶數(shù)，這與qp,是兩
個(gè)互質(zhì)的正整數(shù)相矛盾，所以2不是分?jǐn)?shù). 
師：這一組說的非常棒！這個(gè)證法更側(cè)重于邏輯推理，如果能像剛才測(cè)量2的長(zhǎng)度那樣，我們能把222qp=這種抽象的式子用圖形來表示豈不是不是更好？如果對(duì)這個(gè)式子賦予一個(gè)實(shí)際意義，可以用它來表示什么呢？ 生：一個(gè)大正方形的面積等于兩個(gè)小正方形的面積之和. 
師：（展示幻燈片）我把一個(gè)邊長(zhǎng)為p的正方形和兩個(gè)邊長(zhǎng)為q的正方形按屏幕上這種方式擺放. 你有什么發(fā)現(xiàn)？ 
 
                    
             
                    
                            經(jīng)過觀察及老師的引導(dǎo)之后，學(xué)生會(huì)逐漸發(fā)現(xiàn) 兩個(gè)邊長(zhǎng)為q的正方形的重疊部分的面積等于大正方形和小正方形不重疊部分的兩個(gè)小正方形面積之和. （教師把這三個(gè)新的正方形打上陰影） 
生：藍(lán)色正方形的面積等于兩個(gè)黃色的正方形面積之和. 
師：如果我把這三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)也分別設(shè)為qp,呢？那它們能否再拼成剛開始那三個(gè)正方形擺放的樣式？ 生：可以. 
師：那它們的邊長(zhǎng)是否還滿足222qp=呢？ 生：滿足. 
師：那它們重疊部分的大正方形的面積和不重疊部分的兩個(gè)小正方形面積之和還想等嗎？ 生：可以. 
師：如果我把新的正方形的邊長(zhǎng)也分別設(shè)為qp,呢？還滿足222qp=嗎？ 生：滿足. 
師：而且我們可以發(fā)現(xiàn)這些qp,的值和我們最初設(shè)的那組qp,的值相比較，有什么變化？ 生：逐漸變小. 
師：這些qp,的值可能一直是正整數(shù)嗎？ 生：不可能. 師：這說明什么？ 
生：這與qp,是兩個(gè)互質(zhì)的正整數(shù)相矛盾，所以2不是分?jǐn)?shù). 師：綜上可知？ 
生：2既不是整數(shù)，又不是分?jǐn)?shù)，所以他不是有理數(shù). （三）揭開迷霧，還原真相 
p 
q 
q 
 
                    
             
                    
                            師：2到底是怎樣一個(gè)數(shù)呢？其實(shí)是我們可以借用現(xiàn)代科技，利用科學(xué)計(jì)算器來驗(yàn)證一下. 
（教師用科學(xué)計(jì)算器演示，讓孩子們2對(duì)有一個(gè)更直接的認(rèn)識(shí).） 
2
=1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415727350138462309122970249248360558507372126441214970999358314132226659275055927557999505011527820605714701095599716059702745345968620147285174186408891986095523292304843087143214508397626036279952514079896872533965463318088296406206152583523950547457502877599617298355752203375318570113543746034084988471603868999706990048150305440277903164542478230684929369186215805784631115966687130130156185689872372 
師：大家猜一猜，如若屏幕足夠大，2（最后一位）后面還有數(shù)字嗎？ 生：有. 
師：那就要靠你們好好學(xué)習(xí)，將來學(xué)習(xí)條件允許了，接觸到更高級(jí)的計(jì)算器才可以驗(yàn)證.事實(shí)上它的小數(shù)位共有多少位？ 生：有無數(shù)位. 
師：可以看出是2一個(gè)什么小數(shù)？ 生：無限不循環(huán)小數(shù).所以它是無理數(shù). （四）課堂小結(jié)，布置任務(wù) 師：這節(jié)課你有哪些收獲？ 
生：（2是無限不循環(huán)小數(shù)，是無理數(shù)，      如何證明2不是有理數(shù) 
……） 
師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們可以感受到，一個(gè)我們已經(jīng)認(rèn)定的事實(shí)，聽起來是那么的簡(jiǎn)單，可是它們證明過程卻是有一群熱愛數(shù)學(xué)的“瘋子”大膽猜想，小心求證，一點(diǎn)一滴的驗(yàn)證出來的.所以大家既要站在巨人的肩膀上記住他們的經(jīng)驗(yàn)，又要學(xué)習(xí)他們的敢于質(zhì)疑、勇于挑戰(zhàn)的數(shù)學(xué)精神. 
師：所以我們課下的任務(wù)是，請(qǐng)大家類比證明2不是有理數(shù)的過程，去證明33為什么不是有理數(shù)？

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