視頻標簽：分式方程

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視頻課題：北師大版初中數學八年級下冊第五章第四節分式方程（一）山西省優課

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課時課題：八年級下冊第五章第四節分式方程（一） 
【教材分析】 
本課是在學習了分式的概念，一元一次方程、二元一次方程（組）概念及其應用等知識及技能基礎上，進一步對分式方程模型的研究.分式方程是解決實際問題的又一種模型，通過分式方程的學習，可以進一步體會方程模型的作用，為今后學習其他方程打下基礎.為了讓學生能更好地體會分式方程在刻畫現實世界中的重要價值，本課時設置的問題情境貼近學生當下的生活實際，更有時代感和現實意義，如：高鐵，對外貿易，對外援助等等.通過解決現實世界中的具體問題，進一步提高學生應用數學解決實際問題的興趣與能力.讓學生經歷建立“分式方程模型”這一數學化的過程，從中體會分式方程的模型思想，發展學生符號感、應用意識、推理能力等． 【學情分析】 
      學生是在學習了分式的概念，一元一次方程、二元一次方程（組）概念及其通過尋找等量關系列方程等知識及技能基礎上，學習分式方程的．經歷過根據事實提出問題并解決問題的學習過程. 
學生可能存在的困難：列分式方程解應用題比列一次方程（組）解應用題要復雜一些．學生尋找等量關系列方程的能力還需要進一步提高.因此在教學中，要引導學生如何尋找主要的等量關系、用含未知數的分式或整式表示數量關系；學生提出問題的能力也有待于提高，教學中教師要給與指導，如何提出與情境有關的問題，并恰當設未知數解決問題. 【教學目標】 
1. 能識別分式方程,能根據具體問題中的數量關系列出分式方程. 
2. 經歷分析具體問題中的數量關系建立分式方程的過程，經歷歸納和抽象分式方程概念
的過程，體會方程模型的作用，發展抽象思維能力、符號感、應用意識. 
3. 經歷“實際問題---建立分式方程模型”的數學活動過程，體驗更熟練地列出方程的成
就感，提高克服困難的勇氣；在解決富有時代氣息的問題情境中如：了解我國高鐵，對外貿易的優勢與實力后獲得民族自豪感，激發學生刻苦學習的動力. 
【教學重點、難點】 
重點：用分式方程表示具體問題中的數量關系，體會方程模型的作用. 難點：分析具體問題中的數量關系建立分式方程. 
【教學方法和手段】 
講授法、談話法、討論法（對于學生提出的不同解題策略可以采用）． 
【使用教材的構想】 
教材中的問題對于學生的思考有較好的提示性（如：直接設未知數x，問x滿足怎樣的方程），但同時這樣的問題也限制了學生的思維，我根據所授班級學生學習水平差異大的特點，為了更好的滿足不同學習需要的同學，改變教材問題的設計，我設置了開放性的問題，并給學生足夠的思考空間，引發學生的深度思維，促進學習目標的達成.  
為了快速檢測學生的學習成果，將教材中“救災捐款”問題改變數據并以選擇題的形式呈現．隨堂練習中1題的數據已經過時，我從網上查閱了真實的，最新的數據，讓學生了解我國現在的對外貿易實力，增強民族自豪感. 【教學流程設計】 
環節1：創設情境（時間預計5分）      思政滲透：剛剛過去的五一小長假，有的同學隨家人一起外出旅游，同學們出行的方式都有哪些呢？ 高鐵目前已經成為了人們出行最佳的方式之一，“復興號”“和諧號”經常被人們提起，對于復興號，你了解多少呢？ 
 
                    
             
                    
                            簡單介紹我國高鐵先進水平，文字、圖片、播放視頻.  
 
 
最高時速350公里，刷新世界高速鐵路商業運營新速度，標志著中國高鐵為世界高鐵商業運營樹立了新的標桿. 
        
設計意圖：  讓學生了解我國高鐵的發展水平及在全球中的重要地位，激發學生的民族自豪感，自然地引入解決生活中與高鐵有關的數學問題. 
環節2：提出問題（時間預計15分） 呈現與復興號有關的一個數學問題． 甲、乙兩地相距 1400 km，乘復興號列車從甲地到乙地比乘特快列車少用 10 h，已知復興號列車的平均行駛速度是特快列車的 3.5 倍．     1. 根據這個問題情境提出問題.   
     我們知道，解決這樣的實際問題可以采用方程的思想，所不同的是，這個例子中還沒有給大家設置問題，新課程理念告訴我們，發現問題和提出問題比分析問題和解決問題更為重要，今天我們就來嘗試根據情境提出問題. 
      學生提出的問題有：復興號列車從甲地到乙地行駛時間；復興號列車從甲地到乙地行駛速度；復興號列車與特快列車的速度差是多少？等等 
2. 你能找出這一問題中的所有等量關系嗎？嘗試用列方程的方法解決剛才提出的問題（不解方程）. 
著重引導列方程有困難的學生，“如何找出這一問題中的所有等量關系？”不妨嘗試觀察分析其他同學列出的方程，未知數表示什么？方程等號兩邊的代數式表示什么意義？從題目中的哪句話得到的？進一步分析方程中的各個代數式是怎樣得到的？ 
多數學生可能列出的方程： 
① 
x
x5.31400
101400         
                    
             
                    
                            ② 
101400
5.31400xx      x
x1400
5.310-1400 個別學生可能列出的方程： 
140010
14005.3
xx
 
學生常見的錯誤：10-14005.31400xx     xx1400
105.31400  
指出：由于選擇的未知數、等量關系不同，因此得到了不同的方程形式，但方程①②是更普遍適用的方程形式；列方程時一定分清楚量之間的大小關系，如本題中乘高鐵列車從甲地到乙地時間+ 10 h =乘特快列車從甲地到乙地時間. 
設計意圖：讓學生嘗試根據情境發現并提出問題，為順應時代的發展培養創新型人才而特意設計這一環節，也讓學生能初步體驗情境相同解決不同的問題就會列出不同形式的方程，同時也為歸納分式方程的概念提供更多的方程形式；明確本課將要圍繞尋找應用題中的等量關系，構建方程展開今天的學習與探究. 
環節3：歸納和抽象分式方程概念（時間預計2分） 
觀察列出的這些方程，它們是一元一次方程嗎？ 引出課題---分式方程：分母中含有未知數的方程． 
設計意圖：學生有分式概念的基礎，很容易歸納得到分式方程的概念. 環節4：合作交流，深化認識（時間預計１0分） 
思政滲透：中國高鐵創造了世界奇跡，高鐵技術處于世界領先水平，且成本低，越來越多國家和我國簽署協議，引進我國的高鐵技術，進口我國的高鐵產品和服務，中國高鐵正在逐步走向世界，成為“中國智造”的最好代言，飛速發展的中國經濟不但“走出去” 更加強了 “引進來” 
2014年，中國的FDI(外國直接投資)達1290億美元，同比增長4％，首次超過美國成為全球最大的外資流入國.這反映出中國是世界公認的最有活力的國家，投資者在中國有機會創造出最多的財富！ 
2018年中國舉辦首屆國際進口博覽會，向世界開放中國市場，2019年通過外商投資法，保護外商投資合法權益. 
我們來看國際投資又會帶給我們怎樣的數學思考？ 
據貿發會議最新一期《全球投資趨勢監測報告》，受美國稅收政策及一些主要國家經貿政策不確定性的影響，2018年上半年全球外國直接投資總額約4700億美元，較去年同期驟降41％，但中國吸引外國直接投資額則逆勢增長了6％.設2017年上半年全球外國直接投資總額為x億美元，寫出x滿足的方程.你能寫出幾個方程？其中哪個是分式方程？ 
教師說明：這個題中我已經提出問題，但是題中有的數據和我要解決的問題無關，請同學們快速搜集有用的數學信息解決這個問題. 
學生提煉信息：2018年上半年全球外國直接投資總額約4700億美元，較去年同期驟降41％，設2017年上半年全球外國直接投資總額為x億美元，寫出x滿足的方程.      學習要求： 
1. 獨立完成： 
 
                    
             
                    
                            2. 匯報成果：以小組為單位,哪個小組寫出的方程形式最多？其中哪些是分式方程？ 
學生小組匯總列出的方程：（1）%4114700

x ；     （2）4700%411x；   
（3）xx%414700； （4） 
%414700xx；    （5）%4114700
x
． （6）4700%41xx； 
教師歸納：這些不同形式的方程可以認為是代數變形導致的，從等量關系的角度來看，對同一問題的解決，即使未知數相同，由于等量關系選擇不同，往往會列出不同形式的方程，我們不必刻意追求一題多解，事實上，我們大部分同學列出的是其中的幾個，這也正說明了列方程時抓住主要的等量關系就可以了. 
   設計意圖：這個題目的設置也不同于常規的數學題，增加了提取信息的環節，有意識的培養學生讀取信息的能力；一題多解并不是教師真正的意圖，希望學生能體會即使未知數相同，由于等量關系選擇不同，往往會列出形式不同的方程，可能是整式方程或分式方程，更重要的是讓學生感受到如何抓住主要的等量關系列方程，學生在解決“高鐵”問題時，有個別學生列出了少見的形式，他們在找等量關系時思路不夠清晰. 
環節5：反饋練習，目標達成（時間預計８分） 
通過這節課的學習，相信同學對分式方程在生活中的應用價值有了一定的了解，下面我們簡單測試一下大家的學習效果： 
1. 有下列方程：①x－35＝1；②3x＝2；③1＋x5＋x＝12；④x2＋2
x＝5，其中是分式方程的是(  ) 
A．①②  B．②③   C．③④  D．②③④ 
2. 為了幫助非洲遭受自然災害的地區重建家園，某學校號召同學們自愿捐款.已知七年級同學捐款總額為4 800元，八年級同學捐款總額為5 500元，八年級捐款人數比七年級多20人，且八年級人均捐款額比七年級多1元.如果設七年級捐款人數為x人，那么x應該滿足的方程是（   ） 
A. 
12055004800xx        B. 1205500
4800xx C. 
14800205500xx        D. 14800
205500x
x 思政滲透：能力有多大，責任有多大，隨著中國富起來和強起來，我國對外援助的規模和范圍也不斷擴大，中國已經成為國際公認的負責的大國. 
環節6：課堂反思 
     對于某些復雜的列方程問題，逐個分析量之間的關系，把握關鍵等量關系，所列方程有對稱美，以本課某個例題為例，說一說你的認識。 
     分式方程與含有常數分母的一元一次方程既有區別又有聯系，這樣的聯系對我們思考如何解分式方程會有怎樣的啟發呢？ 
思政滲透：在人類社會的現實生活中，一直存在著大大小小的問題等待我們去解決，該如何解決？就像我們在求解未知數.同學們現在解的是初中數學方程，未來大家要解決的是人類發展中的大大小小的方程，你能順利解出未知數嗎？那就要提高現在解決問題的能力和水平，將來的方程將會更復雜更艱難，只要你們有足夠的聰明才智，勇氣膽魄，就定能推動世界向均衡、普惠、共贏的方向發展的實現實現中華民族偉大復興的中國夢將是你們的使命與責任. 
 
                    
             
                    
                             
【板書設計】 
                §5.4  分式方程   
x
x5.31400
101400        分母．．中                 偉                          含  有                 大 
10
14005.31400xx       未知數                 復 等量關系：                                      興 
乘復興號列車所用的時間+ 10h =乘特快列車所用的時間 復興號列車的平均速度 =5.3特快列車的平均速度   
【教學反思】 成功之處： 
1. 最大限度地發揮教師在教學過程中的作用 
    教師是學生學習的引導者體現在教師能及時幫助、鼓勵列方程有困難的同學，發現同學不同的列法,給予指導；教師是學生學習的組織者體現在教師設置開放性的問題,給予學生學習的最大自主性,由于學生思維水平的差異大,因此給教師組織教學帶來較大挑戰,教師對課堂生成要有充分的思考,有層次的呈現學生列方程的方法,組織學生形成清晰的思路；教師是學生學習的合作者體現在積極參與學生的討論,不妨也提出教師列出的方程. 2. 重視學生方程模型思想的認識 
    教師不是急于頭頭是道地給學生分析等量關系把問題人為分類，這樣的教學沒有探索也沒有挑戰性，有的只是被動接受和機械模仿，操練.而是讓學生充分經歷數學建模的過程，從中體會到方程是現實世界的數學模型. 3. 思政內容的巧妙滲透 教師認真研究教材，將列方程解決“高鐵、特快”的數學問題與我國剛剛投入運營的“復興號”聯系，讓學生了解中國高鐵為世界高鐵商業運營樹立了新的標桿，激發學生的學習動力；應用數學中的增長率問題解決來自最新的《全球投資趨勢監測報告》中關于“外國直接投資”的問題，讓學生了解中國在國際投資格局中的地位和作用進一步增強，再次感受到中華民族的偉大復興；解決“救災捐款”的數學問題后,讓學生了解我國的大國擔當. 
數學是理性的、適度的.思政滲透有助于培養學生把高度的愛國熱情與嚴謹踏實的科學態度結合起來. 
關于本教學設計的使用的一點思考:根據學情狀況靈活設計教學環節,如果學生所列方程形式不全,教師可直接提供一些列法,讓學生思考所列方程的合理性,并判斷方程類型,也是可行的.

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