視頻標(biāo)簽：兩條直線的,位置關(guān)系

所屬欄目：初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)2.1兩條直線的位置關(guān)系（第1課時(shí)）遼寧省 - 沈陽

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第二章 相交線與平行線 2.1兩條直線的位置關(guān)系（第1課時(shí)） 
一、教材分析 
本節(jié)課是在七年級(jí)上學(xué)期學(xué)習(xí)了“豐富的圖形世界”“基本平面圖形”兩章內(nèi)容的基礎(chǔ)上，研究同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系，角與角之間的數(shù)量關(guān)系.理解補(bǔ)角、余角、對(duì)頂角的概念及其性質(zhì)并能夠進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用，為后續(xù)學(xué)習(xí)平行、直角三角形等知識(shí)奠定基礎(chǔ)。同時(shí)，本節(jié)課通過大量的情景引入，激發(fā)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)，從實(shí)際情境中抽象出數(shù)學(xué)模型。再通過讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、操作、交流、推理等探索過程 ，發(fā)展學(xué)生的空間觀念及推理能力，為后續(xù)學(xué)習(xí)“空間與圖形”的其它知識(shí)做好鋪墊。 
二、學(xué)生分析 
學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ)：學(xué)生在小學(xué)已經(jīng)認(rèn)識(shí)了平行線、相交線、角；在七年級(jí)上冊(cè)中，已經(jīng)對(duì)角及其分類有了一定的認(rèn)識(shí)。這些知識(shí)儲(chǔ)備為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了良好的知識(shí)基礎(chǔ)。 
學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：在前面知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了一些動(dòng)手操作，探索發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)活動(dòng)，積累了一些初步的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),為本節(jié)課重難點(diǎn)的突破做了活動(dòng)上的準(zhǔn)備。 
三、教學(xué)目標(biāo)分析 
1．從熟悉的、感興趣的情境出發(fā)，了解歸納平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系(相交和平行)；
在具體情境中抽象出對(duì)頂角、補(bǔ)角、余角的模型，理解對(duì)頂角、補(bǔ)角、余角的概念。 
2．通過觀察、操作、交流、推理等過程,探索并掌握對(duì)頂角相等,同角(等角)的余角相
等、同角(等角)的補(bǔ)角相等,進(jìn)一步發(fā)展空間觀念、推理能力和有條理表達(dá)的能力。 
3．在探索對(duì)頂角相等的活動(dòng)中，經(jīng)歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過
程,體驗(yàn)解決問題方法的多樣性。 
4. 激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量數(shù)學(xué)問題，這些問題可以抽象
成數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)方法予以解決。 
四、教學(xué)重難點(diǎn)分析 
重點(diǎn):從實(shí)際情境中抽象出數(shù)學(xué)模型，理解對(duì)頂角、余角、補(bǔ)角的概念及其性質(zhì)。 難點(diǎn):對(duì)頂角相等、同角(等角)的余角相等、同角(等角)的補(bǔ)角相等的理由的探究過程；同角(等角)的余角相等性質(zhì)的應(yīng)用。 
五、教學(xué)過程設(shè)計(jì) 
本節(jié)課共設(shè)計(jì)以下環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：情境引入，導(dǎo)入新課；第二環(huán)節(jié)：實(shí)踐合作，探究
 
                    
             
                    
                             2 
新知；第三環(huán)節(jié)：學(xué)以致用，鞏固練習(xí)；第四環(huán)節(jié)：綜合運(yùn)用，能力提升；第五環(huán)節(jié)：歸納總結(jié)，知識(shí)內(nèi)化。 
第一環(huán)節(jié)：情境引入，導(dǎo)入新課 
【相交線與平行線】 
1.視頻引入：教師播放激光秀視頻，引入新課——請(qǐng)學(xué)生觀察視頻中兩條直線的位置關(guān)系。 2.動(dòng)手操作：請(qǐng)同學(xué)從視頻中抽象出兩條直線的位置關(guān)系并在導(dǎo)學(xué)案上作圖，歸納同一平面內(nèi)，兩直線的位置關(guān)系有哪幾種？ 
師生交流歸納出：同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系可以分為相交和平行。 3.請(qǐng)同學(xué)舉出生活中相交線和平行線的實(shí)例。 預(yù)設(shè)和彈性方案: 
若有學(xué)生舉例是異面直線，可以幫學(xué)生明確異面直線是在高中階段學(xué)習(xí)的內(nèi)容，初中階段只學(xué)習(xí)同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系。 
設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)來源于生活，,從學(xué)生感興趣的話題出發(fā)，體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。再動(dòng)手操作，從實(shí)際情境中抽象出具體圖形，歸納出兩條直線的位置關(guān)系，增加學(xué)生自己的空間感覺和體驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生的空間觀念和幾何直觀。讓學(xué)生自己舉出生活中的實(shí)例，進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系。 
第二環(huán)節(jié)：實(shí)踐合作，探究新知 
（一）對(duì)頂角 【概念】 
1.引入：兩個(gè)相交的小紙條可以看成圖1，如圖1,直線AB與CD交于點(diǎn)O,圖中除平角以外,還有幾個(gè)角?請(qǐng)同學(xué)將它們兩兩一組分類,可以分成幾類？分類的依據(jù)？ 
解析：還有4個(gè)角；可以按照位置關(guān)系分兩類：第一類是∠1與∠2,∠3與∠4，它們是對(duì)著的；第二類∠1與∠3,∠1與∠4,∠2與∠3,∠2與∠4，它們都是相鄰的角。 
             
                                                    
                                         
圖1  
 
 
                    
             
                    
                             3 
2.明確概念：請(qǐng)同學(xué)們給第一類角起個(gè)名字， 他們有一個(gè)生動(dòng)的名字就叫做對(duì)頂角，觀察對(duì)頂角的頂點(diǎn)和兩邊的位置關(guān)系，請(qǐng)同學(xué)們?cè)囍�描述具有怎樣位置關(guān)系的兩個(gè)角是對(duì)頂角呢？ 
解析：像∠1與∠2這樣，有公共頂點(diǎn)O，它們的兩邊互為反向延長(zhǎng)線，這樣的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角。 
3.挖掘概念內(nèi)涵: 
問題：下列各圖中，∠1和∠2是對(duì)頂角的是（ D  ） 
  
 
2.右圖中，∠AOD的對(duì)頂角是               【性質(zhì)】 
研究了對(duì)頂角的位置關(guān)系，再來探究對(duì)頂角的數(shù)量關(guān)系。 1. 學(xué)生探究活動(dòng)一： 
探究問題：（1）觀察并猜想∠1和∠2具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 
（2）當(dāng)交點(diǎn)O固定，改變直線AB和直線CD的位置關(guān)系，∠1和∠2一直具有這
樣的數(shù)量關(guān)系嗎？ 
（3）你能得到什么結(jié)論？小組合作驗(yàn)證你的結(jié)論。 
解析：∠1和∠2相等；一直相等；測(cè)量法，疊合法，利用平角和等式的基本性質(zhì)進(jìn)行說理。 
學(xué)生合作交流后展示不同的方法，教師用幾何畫板輔助。 
 預(yù)設(shè)和彈性方案： 
學(xué)生可能用不同的方法探究結(jié)論：可以用量角器測(cè)量得到，可以利用折疊的方法，也可以是借助平角的定義和等式的性質(zhì)。每一種種方法都予以肯定,如果學(xué)生只用了一種方法，進(jìn)行引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)另外的方法。 2.應(yīng)用練習(xí)： 
如圖所示，有一個(gè)破損的扇形零件，利用圖中的量角器可以量出這個(gè)扇形零件的圓心角的度數(shù)，你能說出所量角是多少
度嗎？你的根據(jù)是什么？                                         
解析：40°；根據(jù)是對(duì)頂角相等。 
1 
2 
1 
2 
1 
2 
1 
2 
A 
B 
C 
D 
 
                    
             
                    
                             4 
 
（二）補(bǔ)角 
【概念】 
1.問題引入：研究了第一類角，再來研究第二類角。 
∠1與∠3具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？∠2與∠3具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 解析：∠1與∠3的和是180°，∠2與∠3的和是180°。 2.明確概念： 
如果兩個(gè)角的和是180°,那么稱這兩個(gè)角互為補(bǔ)角。 3.挖掘概念內(nèi)涵： 
問題1：（用幾何畫板演示）移動(dòng)∠3和∠1到圖2的位置，∠1和∠3仍然是互為補(bǔ)角嗎？ 解析：仍然是。引導(dǎo)學(xué)生明確互補(bǔ)指的是兩個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系,只與角的度數(shù)有關(guān),而跟它們的位置無關(guān). 
問題2：圖3中的兩個(gè)角互補(bǔ)嗎？ 
解析：不互補(bǔ)，引導(dǎo)學(xué)生明確互補(bǔ)指的是兩個(gè)角之間的關(guān)系。 
 
      
圖2                      圖3 
【性質(zhì)】 
1.學(xué)生探究活動(dòng)二： 
探究問題：如圖：∠2和∠3互補(bǔ)，∠2和∠4互補(bǔ)，∠3和∠4的大小有什么關(guān)系？為什么？由此，你能得到什么結(jié)論？  學(xué)生合作交流得到結(jié)論：同角的補(bǔ)角相等。 
2.追問：等角的補(bǔ)角呢？如圖5：∠1和∠3互補(bǔ)，∠2和∠4互補(bǔ)，∠1＝∠2，∠3還等于∠4嗎？ 
學(xué)生交流得到結(jié)論：同角(等角)的補(bǔ)角相等。 
符號(hào)語言：因?yàn)?ang;1= ∠2， 
∠1 +∠3=180°,  ∠2+∠4=180°， 所以 ∠3=∠4. 
（三）余角 
【概念】 
類似的，如果兩個(gè)角的和是90°,那么稱這兩個(gè)角互為余角。 
【性質(zhì)】 
1.學(xué)生探究活動(dòng)三： 
類比補(bǔ)角的性質(zhì)，探究余角的性質(zhì)。 
探究問題：∠AOB=90°，∠COD=90°，∠2的余角有哪些？它們的大小有什么關(guān)系？由此你能得到什么結(jié)論？ 
符號(hào)語言：因?yàn)?ang;1 +∠2=180°,  
∠2+∠3=180°， 
所以 ∠1=∠3.                                             
學(xué)生交流得到結(jié)論：同角(等角)的補(bǔ)角相等。   
 
                    
             
                    
                             
6 
 
2.應(yīng)用練習(xí)： 如圖1，打臺(tái)球時(shí)，選擇適當(dāng)?shù)姆较蛴冒浊驌舸蚣t球，反彈后的紅球會(huì)直接入袋，此時(shí)∠1=∠2，圖1簡(jiǎn)化成圖2，ON與DC交于點(diǎn)O，∠DON=∠CON=90°，∠1=∠2.則∠3和∠4滿足的數(shù)量關(guān)系是             ，理論依據(jù)是             。 追問：圖中還有哪些相等的角？（除平角和直角外）為什么？ 
 
 
解析：∠3=∠4；等角的余角相等。∠AOC=∠BOD；等角的補(bǔ)角相等。 
設(shè)計(jì)意圖：重視動(dòng)手操作，是發(fā)展學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力最有效途徑之一。通過生動(dòng)有趣的動(dòng)手操作，為學(xué)生提供觀察、操作、推理、交流的數(shù)學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生在自主學(xué)習(xí)的過程中，探索余角和等角的性質(zhì)，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。同時(shí)用與實(shí)際生活相連的實(shí)際應(yīng)用問題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際情境中抽象幾何圖形進(jìn)行建模的能力。在探究角相等的過程中，鼓勵(lì)學(xué)生采用測(cè)量法、疊合法、說理等不同的方法去探究結(jié)果，經(jīng)歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程,體驗(yàn)解決問題方法的多樣性,掌握分析問題和解決問題的一些基本方法。           
第三環(huán)節(jié)：學(xué)以致用，鞏固練習(xí) 
1. 若∠α=20°，則等，則∠1是          度。 2. ∠1和∠2互補(bǔ)且相等，則∠1是          度。 
3.如圖所示，直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O，，∠1=50°，則∠2=         ，∠BOC=     ,∠AOD=         . 
4.如圖所示，∠AOC＝∠COE＝∠BOD＝90°，則圖中與∠BOC相等的角為           ；與∠BOC互余的角為          ；與∠BOC互補(bǔ)的角為            . 
  
  
設(shè)計(jì)意圖：通過練習(xí)，鞏固本節(jié)課所學(xué)知識(shí)，強(qiáng)化學(xué)習(xí)效果和運(yùn)用方法，了解對(duì)所學(xué)知識(shí)的掌握程度。同時(shí)，通過設(shè)置有梯度的練習(xí)題目，可以使孩子的邏輯思維能力由簡(jiǎn)單向復(fù)雜，有低級(jí)向高級(jí)逐步提高。 
圖1 
2 D 
C 
O 1 3 4 A 
N 
B 
圖2 
3題圖 
4題圖 
 
                    
             
                    
                             
7 
 
第四環(huán)節(jié)：綜合運(yùn)用，能力提升 
如圖，將一個(gè)長(zhǎng)方形紙片沿著直線EF折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)H處；再將∠D沿著GE折疊，使DE落在直線EH上： 
問題1：∠FEG等于多少度？為什么？ 問題2：∠FEH與∠GEH互余嗎？為什么？ 
問題3：上述折紙的圖形中，還有哪些（除直角外）相等的角？ 
       
設(shè)計(jì)意圖：將本節(jié)課所學(xué)知識(shí)放到折疊的問題情境中，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力空間想象能力。 
第五環(huán)節(jié)：歸納總結(jié)，知識(shí)內(nèi)化 
鼓勵(lì)學(xué)生暢談自己的收獲，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多方面的總結(jié)。

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