視頻標簽：銳角三角函數

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視頻課題：人教版數學九年級下冊第28章28.128.1銳角三角函數（1）云南

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人教版數學九年級下冊第28章28.128.1銳角三角函數（1）云南大學附屬中學

28.1銳角三角函數（1） 

【教學目標】： 
知識技能：使學生知道當直角三角形的銳角固定時，它的對邊與斜邊的比值都固定這
一事實，進而認識正弦（sinA）。 
數學思考：經歷當直角三角形的銳角固定時，它的對邊與斜邊的比值是固定值這一事
實，發展學生的形象思維． 
解決問題：在直角三角形中，初步建立邊與角之間的關系，對于解決三角形問題又有
了新的途徑． 
情感態度：使學生體驗數學活動充滿著探索與創造，能積極參與數學學習活動． 
【教學重點】：使學生知道在直角三角形中，當銳角固定時，它的對邊與斜邊的比值是固定值這一事實，認識正弦（sinA）。 
【教學難點】：學生很難想到對任意銳角，它的對邊與斜邊的比值是固定值的事實，關鍵在于教師引導學生比較、分析，得出結論． 【教學過程】： 一、新課引入 
  展示本章章前圖（比薩斜塔），提出問題：能否用“塔身中心線偏離垂直中心線的角度”來描述比薩斜塔的傾斜程度呢？從而引出本章內容。  
二、提出問題 
為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機井房沿著山坡鋪設水管，在山坡上修建一座揚水站，對坡面的綠地進行噴灌．現測得斜坡與水平面所成角的度數是30°，為使出水口的高度為35m，那么需要準備多長的水管？ 
    
【思考】： 
1.在上面的問題中，如果使出水口的高度為50m，那么需要準備多長的水管？ 2.若斜坡與水平面所成角的度數是45°，結果會如何呢？ 3．若斜坡與水平面所成角的度數是40°，結果會如何呢？ 
 
                    
             
                    
                             
2 
4．若已知出水口高度為40m，斜坡上鋪設的水管長50m，那么斜坡與水平面所成角的度數是多少呢？ 
教師繼續提出問題2和3，4，對3，4，學生感到很困惑，不知如何解答．從而引出本節要學的內容．） 
 
三、探求新知 
1．實踐：任意畫一個Rt△ABC，使得∠C=90°，∠A=45°，計算∠A的對邊與斜邊的比AB
BC
,你能得出什么結論？ (強調所畫三角形的任意性，易得出結論：在直角三角形中，如果一個銳角是45°，那么不管三角形的大小如何，這個角的對邊與斜邊的比值都是
2
2) 2、猜想：直角三角形中，當一個銳角確定時，不管這個直角三角形的大小如何，這個角的對邊與斜邊的比值有什么特點？ 
3、幾何畫板動態驗證：直角三角形中，當一個銳角確定時，不管這個直角三角形的大小如何，這個角的對邊與斜邊的比值是固定的． 
4、探究： 
任意畫Rt△ABC和Rt△A1B1C1，使得∠C=1C=90°，∠A=1A=，那么11
11
BCBCABAB和
有什么關系，你能解釋一下嗎？ 
（引導學生用相似三角形知識進行證明） 經過學生證明，得出： 
 “無論直角三角形的銳角為何值，一旦角度確定，它的對
邊與斜邊的比值也隨之確定，對于每一個銳角，都有這樣一個比值與之對應。”    
 
5、結合圖形引入正弦定義：  
 
在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A
的正弦（sine）,記作：sinA 
（此問題可歸結為直角三角形問題．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m，求AB的長．學生由已學知識很容易解決，AB=70m．并能得到
A1
2
BCAB的對邊斜邊，說明在直角三角形中，如果一個
銳角是30°，那么不管三角形的大小如何，這個角的對邊與斜邊的比值都是
1
2
．  C1B1A!ACB
斜邊
對邊b
acA
C
B
                    
             
                    
                             
3 
即sinAaAc的對邊斜邊．同樣sinB = Bb
c
的對邊斜邊 
【注意】： 1、sinA 不是一個角,而是一個比值； 2、sinA是一整體符號，不是 sin與
A的乘積 ，不能分開寫成sin·A；  3、sinA 沒有單位。 
【練一練】： 一、判斷對錯:  
1、如圖a  (1) sinA=AB
BC
 （    ）  
(2)sinB=
AB
BC
  （    ）    
(3)sinA=0.6m  （    ）  (4)SinB=
5
4 （    ） 2、如圖b，sinA= AB
BC
   （     ）  二、填一填： 
1、如圖，在Rt△MNP中，∠N＝90゜.則斜邊是        ∠P的對邊是__________,∠M的對邊是__________。若MN=3，PM=4，則sinP=         ,sinM=            . 
   
 
2、如圖，△ABC中，∠A=30°,BC=4，AC=7，則sinA=            。  
四、例題與練習 
例1：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值．    
  
教師寫出第（1）小題的解題過程，教給學生正確的解題格式． 
解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：5342222BCACAB 
∴3sin5BCAAB
，  4
sin5
ACBAB  
(1)
C
BA
4
3(2)
C
B
A
513
圖a 圖b 
A 10m 
6m B 
C 
（第1題） 
30°
A
B
C
4
7
（第2題） 
 
                    
             
                    
                             4 
（2）題由學生自己獨立完成。 【練習】： 
1、如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=5，則sinA=       ， sinB=       。  2、在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=
5
4
, BC=8，則AB=       ，AC=        。 3、在Rt△ABC中，銳角A的對邊和斜邊同時擴大100倍，sinA的值（    ）            A.擴大100倍          B.縮小     C.不變       D.不能確定  
五、解決問題 
回到開頭提出的問題，若斜坡與水平面所成角的度數是40°，為使出水口的高度為35m，那么需要準備多長的水管？ 
∵在Rt△ABC中，AB
BC
Asin,   ∴)(69.5464
.035
40sin35sinmABCAB
 若已知出水口高度為40m，斜坡上鋪設的水管長50m，那么斜坡與水平面所成角的度數是多少呢？(∵在Rt△ABC中， 54sinABBCA，而5
4
13.53sin，∴∠A=53.13°)  
六、歸納小結 
  （1）本節課中你有哪些收獲與大家交流？ 
（2）教師可適當補充：本節課經過同學們自己動手實驗，大膽猜測和積極思考，我們發現了一個新的結論，相信大家的邏輯思維能力又有所提高，希望大家發揚這種創新精神，變被動學知識為主動發現問題，培養自己的創新意識．  
（3）正弦定義中將直角三角形中的邊與角聯系起來，已知一邊求其他未知邊的問題就迎刃而解了。  
七、布置作業 （見學案） 

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