視頻標(biāo)簽：一次函數(shù)與方程,不等式

所屬欄目：初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)下冊(cè)第十九章19.2.3一次函數(shù)與方程、不等式-欽州

教學(xué)設(shè)計(jì)、課堂實(shí)錄及教案：初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)下冊(cè)第十九章19.2.3一次函數(shù)與方程、不等式-欽州

一次函數(shù)與方程、不等式教學(xué)設(shè)計(jì) 
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析 1. 內(nèi)容 
一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式的關(guān)系. 2. 內(nèi)容解析 
函數(shù)、方程、不等式是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，都是解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的重要數(shù)學(xué)模型，它們之間聯(lián)系緊密，其中函數(shù)是聯(lián)系方程、不等式的紐帶. 用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)看一元一次方程，則可以把解一元一次方程看成為已知一次函數(shù)的函數(shù)值求對(duì)應(yīng)的自變量的值；用函數(shù)觀點(diǎn)來(lái)看一元一次不等式，則解一元一次不等式就是求一次函數(shù)函數(shù)值在某個(gè)范圍內(nèi)的自變量的取值范圍. 因此通過(guò)函數(shù)圖像可以直觀地找到方程的解和不等式的解集. 研究函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系可以深化相關(guān)知識(shí)的理解，優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu). 
因此，本節(jié)課的重點(diǎn)是：一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式的關(guān)系. 
二、目標(biāo)和目標(biāo)解析 1. 目標(biāo) 
（1）認(rèn)識(shí)一次函數(shù)與一元一次方程的聯(lián)系，會(huì)用函數(shù)觀點(diǎn)解釋方程及其解的意義； 
（2）認(rèn)識(shí)一次函數(shù)與一元一次不等式的聯(lián)系．會(huì)用函數(shù)觀點(diǎn)解釋不等式及其解集的意義； 
 
                    
             
                    
                            （3）經(jīng)歷用函數(shù)圖象表示方程的解、不等式解集的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)“以形表示數(shù)，以數(shù)解釋形”的數(shù)形結(jié)合思想． 
2. 目標(biāo)解析 
達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志：學(xué)生知道解一元一次方程可以看成是已知一次函數(shù)的函數(shù)值求對(duì)應(yīng)的自變量的值，并能在函數(shù)圖像上找到一元一次方程的解.  
達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志：學(xué)生知道解一元一次不等式就是求一次函數(shù)函數(shù)值在某個(gè)范圍內(nèi)的自變量的取值范圍，并能在函數(shù)圖像上找到一元一次不等式的解集. 
達(dá)成目標(biāo)（3）的標(biāo)志：理解函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的解、不等式的解集的關(guān)系. 
三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析 
學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程、一元一次不等式、一次函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，知道它們都是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系的重要模型，并掌握了一元一次方程、一元一次不等式的解法，能夠根據(jù)函數(shù)解析式畫(huà)出函數(shù)圖像. 但是對(duì)于這三個(gè)知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生是獨(dú)立掌握的，不知道它們之間存在哪些聯(lián)系，如果用函數(shù)的觀點(diǎn)看一元一次方程和不等式又會(huì)得到哪些新的結(jié)論. 這些問(wèn)題都是學(xué)生沒(méi)有接觸過(guò)的，所以比較陌生而且很抽象，學(xué)生理解起來(lái)有一定的難度. 要理解好這三個(gè)內(nèi)容之間的聯(lián)系，函數(shù)圖像上點(diǎn)的意義起到很關(guān)鍵的作用. 函數(shù)圖像上點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示函數(shù)值，橫坐標(biāo)表示相應(yīng)自變量的值，因此解一元一次方程實(shí)際上是已知一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的縱坐標(biāo)求與其對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)；求不等式的解集看作是圖像上縱坐標(biāo)的值在一定范圍內(nèi)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)的值的集合. 
所以，本節(jié)課的難點(diǎn)是：把一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的解、不等式的解集建立聯(lián)系.
                    
             
                    
                            問(wèn)題2: 當(dāng)s=180時(shí)，t等于多少？ 師生活動(dòng)：學(xué)生回答，教師板書(shū). 
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)解答這個(gè)問(wèn)題，讓學(xué)生知道求當(dāng)s=180時(shí)，t等于多少，就是解方程：90t=180. 進(jìn)而初步感受一次函數(shù)與方程的聯(lián)系，為學(xué)習(xí)新知識(shí)做好鋪墊. 
3. 探索新知一 
探究一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系 
問(wèn)題3 觀察下面三個(gè)方程：（1）2x+1=3  (2) 2x+1=0  (3) 2x+1=-1并思考： （1）這三個(gè)方程在結(jié)構(gòu)上有哪些共同點(diǎn)和不同點(diǎn)？ 師生活動(dòng)：學(xué)生通過(guò)觀察方程回答左邊相同，右邊數(shù)值不同. （2）它們與哪個(gè)一次函數(shù)有聯(lián)系？ 師生活動(dòng)：學(xué)生集體回答y=2x+1 
（3）當(dāng)y=2x+1的函數(shù)值等于3時(shí), x為何值？ 
師生活動(dòng)：學(xué)生在練習(xí)本上解答，一生上黑板板演過(guò)程. 教師點(diǎn)評(píng)，并和學(xué)生一起歸納解2x+1=3相當(dāng)于求y等于3時(shí)，x的值.  
教師追問(wèn)：類(lèi)比解2x+1=3相當(dāng)于求y等于3時(shí)，x的值，說(shuō)出解2x+1=0相當(dāng)于                 ？解2x+1=-1相當(dāng)于                 ？ 
師生活動(dòng)：學(xué)生回答類(lèi)比解2x+1=3相當(dāng)于求y等于3時(shí)，x的值，解2x+1=0相當(dāng)于 求y等于0時(shí)，x的值   ；解2x+1=-1相當(dāng)于 求y等于-1時(shí)，x的值  . 
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)具體的例子自然過(guò)渡到一般情況，幫助學(xué)生理解一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系，降低學(xué)習(xí)的難度. 
問(wèn)題4 把結(jié)論推廣到一般的情況：解一元一次方程 ax + b = 0(a，b為常數(shù)，a≠0)可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)中的什么問(wèn)題？ 
 
                    
             
                    
                            師生活動(dòng)：學(xué)生分組討論，教師引導(dǎo)得出結(jié)論解一元一次方程 ax + b = 0(a，b為常數(shù)，a≠0)可以轉(zhuǎn)化求一次函數(shù)y = ax + b(a≠0)的函數(shù)值為0時(shí)，自變量x的值. 
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)分組討論，讓學(xué)生自然接受結(jié)論，加深知識(shí)的理解. 問(wèn)題5 畫(huà)出函數(shù)y=2x+1的圖象，你能在圖中找到2x+1=3的解嗎？為什么？ 師生活動(dòng)：學(xué)生畫(huà)出函數(shù)圖像，并思考如何在函數(shù)圖像上找到方程2x+1=3的解. 分組討論之后，讓一名學(xué)生上黑板講解，教師做最后點(diǎn)評(píng)，并一起總結(jié)在函數(shù)圖像上找方程的解的方法：利用圖象法解方程2x+1=m就是在直線y=2x+1上找到縱坐標(biāo)為m的點(diǎn)，觀察其橫坐標(biāo)的值. 
4. 課堂練習(xí) 
（1）根據(jù)圖象直接說(shuō)出一元一次方程 x+3 = 0 的解. 
（2）設(shè)m，n為常數(shù)且m≠0，直線y=mx+n（如圖所示），則方程mx+n=- 0.5的解是                  . 
    
設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)習(xí)了利用圖象法找一元一次方程的解后及時(shí)安排相應(yīng)的練習(xí)，讓學(xué)生更好地理解和掌握所學(xué)的內(nèi)容. 
5. 總結(jié)歸納 
問(wèn)題6 綜上所學(xué)，請(qǐng)總結(jié)一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系？ 
師生活動(dòng)：學(xué)生分組討論，整理所學(xué)的內(nèi)容，師生引導(dǎo)后與學(xué)生一起總結(jié)它們之間的關(guān)系：從“數(shù)”上看：解一元一次方程 ax + b = 0(a，b為常數(shù)，a≠0)
第1題 
第2題 
 
                    
             
                    
                            相當(dāng)于當(dāng)函數(shù)y =ax+b的函數(shù)值y為0時(shí)，求自變量x的值. 從“形”上看：解一元一次方程ax+b=0(a，b為常數(shù)，a≠0)可轉(zhuǎn)化為確定直線y=ax+b與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo). 
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)討論，學(xué)會(huì)歸納知識(shí)；通過(guò)歸納知識(shí)，讓學(xué)生理清知識(shí)間的聯(lián)系，更好地消化新知識(shí). 
6. 探索新知二 
類(lèi)比思考：一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系 
問(wèn)題7 觀察下面三個(gè)不等式（1）2x+1＞3（2）2x+1＜0（3）2x+1＜-1并回答下列問(wèn)題： 
（1）與這些不等式對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)是              ；  （2）當(dāng)y=2x+1的函數(shù)值大于3時(shí),求x的取值范圍？ 
（3）解不等式2x+1＞3，就是當(dāng)一次函數(shù)的函數(shù)值             時(shí)，求自變量x的取值范圍；解不等式2x+1＜0，就是當(dāng)一次函數(shù)的函數(shù)值                  時(shí)，求自變量x的取值范圍；解不等式2x+1＜-1，就是當(dāng)一次函數(shù)的函數(shù)值                       時(shí)，求自變量x的取值范圍； 
師生活動(dòng)：學(xué)生回答第一個(gè)問(wèn)題后，獨(dú)立完成第二、第三個(gè)問(wèn)題，然后分小組討論；教師講評(píng). 
設(shè)計(jì)意圖：類(lèi)比一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系，學(xué)生很容易找到答案，此環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)一是讓學(xué)生在具體例子上感受一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系；二是讓學(xué)生學(xué)會(huì)用類(lèi)比的方法用已知的知識(shí)探索未知的東西. 
問(wèn)題8 進(jìn)一步總結(jié)，解一元一次不等式2x+ 1 <m（2x + 1 >m）相當(dāng)于在一次函數(shù)          的函數(shù)                時(shí)，求             的取值范圍. 
師生活動(dòng)：學(xué)生總結(jié)，教師點(diǎn)評(píng). 
 
                    
             
                    
                            設(shè)計(jì)意圖：結(jié)論一般化，感受具體到一般的過(guò)程. 
    問(wèn)題9  綜上所學(xué)，請(qǐng)總結(jié)一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系. 
    師生活動(dòng)：學(xué)生分組討論，整理所學(xué)的內(nèi)容，師生引導(dǎo)一起總結(jié)出它們的關(guān)系：解一元一次不等式ax + b >0或ax + b <0（a ≠0 ）相當(dāng)于求一次函數(shù)y = ax + b（a ≠0 ）的函數(shù)值大于0或小于0時(shí)，自變量x的取值范圍. 
    問(wèn)題10 分組討論如何利用一次函數(shù)的圖象找到對(duì)應(yīng)的一元一次不等式的解集？ 
    師生活動(dòng)：學(xué)生分組畫(huà)出一次函數(shù)的圖象并類(lèi)比在圖象上找一元一次方程解的方法找一元一次不等式的解集，教師適當(dāng)指導(dǎo).  
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生學(xué)會(huì)合作學(xué)習(xí)、掌握類(lèi)比的學(xué)習(xí)方法，通過(guò)自己思考的過(guò)程加深對(duì)知識(shí)的理解. 
師生活動(dòng)：小組合作后師生共同總結(jié)：利用一次函數(shù)圖象找一元一次不等式ax + b >0或ax + b<0（a、b 是常數(shù)，a ≠0 ）的解集就是確定直線y=ax+b在x軸上方（或下方）的部分的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值的范圍. 
7. 鞏固訓(xùn)練 
（1）直線y=2x+b與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（2，0）， 則關(guān)于x的方程2x+b=0的解是             ； 
（2）如圖，一次函數(shù) y=kx+b的圖象與y軸交 于（0,1），當(dāng)y>1時(shí)，x的取值范圍是           ； 
（3）如圖，一次函數(shù) y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A， 關(guān)于x的不等式kx+b<3的解集是           ； 
變式一：如圖，一次函數(shù) y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，關(guān)于x的不等式 kx+b≥3的解集是             ；

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