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視頻標簽：實際問題與,二元一次方程組
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：初中數學人教版七年級下冊第八章8.3實際問題與二元一次方程組（2）探究二-天津
教學設計、課堂實錄及教案：初中數學人教版七年級下冊第八章8.3實際問題與二元一次方程組（2）探究二-天津市濱海新區
8.3 實際問題與二元一次方程組（2）——探究二
一、內容和內容解析 1.內容
用二元一次方程組解決“探究2”中的實際問題 2.內容解析
實際生活中常會遇到解決兩個未知量的問題，這兩個未知量之間存在數量關系，運用二元一次方程組可以解決這類問題。分析問題中的數量關系→發現等量關系→列出二元一次方程組→解二元一次方程組→得到實際問題的答案，這一典型的數學建模過程，是數學應用的具體體現，它對于運用其他數學模型（如不等式、函數等）解決實際問題具有很強的示范作用。
本節課要研究“探究2”。“探究2”中的數量關系比較復雜，作物總產量比、面積比、長度比之間的轉化是列方程組的關鍵。由于前面已經學習“探究1”，學生已初步認識運用方程組解決實際問題的建模過程。“探究2”加深對建模過程的認識。在探究過程中同時關注如何用數學問題的答案解釋具體的實際問題。
二、目標和目標解析 1.目標
(1)能分析實際問題中的數量關系，會設未知數，列方程組并求解，得到實際問題的答案，體會數學建模思想。
(2)經歷從不同角度尋求解決問題的途徑過程中，學會多角度考慮問題，進一步提高分析問題和解決問題的能力。 2.目標解析
學生在第四章中已經學習了一元一次方程的解法及應用，在本章中已經學習了二元一次方程組的解法、實際問題與二元一次方程組的基本知識以及用二元一次方程組解決“牛飼料問題”，在此基礎上，本節課將繼續學習用二元一次方程組解決“種植面積問題”，通過觀察、分析實際問題的含義，尋找方案設計問題中的等量關系，進一步體會以方程組為工具把實際問題模型化的思想，進一步提高利用方程組解決實際問題的能力。用方程組的解解釋實際問題。這一典型的數學建模過程，需要學生在方程、方程組以及后續的不等式、函數的學習中，逐漸體會。在“探究2”中學生要借助圖形發現隱含的等量關系，把總產量的比轉化為長度比，從而列出方程組，并用語言描述作物的種植方案。
三、教學問題診斷分析
受閱讀能力、分析能力的制約，如何從實際背景中提取數學信息，并轉化成數學語言，對初一學生來說是個難點。本節課涉及的實際問題都含有兩個未知數，包含兩個等量關系，需要列出兩個二元一次方程組。數量關系比一元問題復雜，需要學生更好地分析問題，抓住關鍵詞，發現等量關系，列出方程組。
探究2的情境比較復雜，由于學生的生活經歷有限，對探究2中的一些名詞（總產量、單位面積產量）不了解，其等量關系也不像其它實際問題那么明顯，題目中涉及的數量關系
比較多，對于題目條件以比例形式出現時學生無從下手，對問題中 “怎樣劃分土地”的題意理解都是本題的難點；此外，在“探究2”中如何依據方程組的解，描述土地劃分方案，對于學生來說也是一個難點。
四、 教學過程設計 （一）知識準備：
上節課我們學習了用二元一次方程組來解決實際問題，下面請同學們回憶一下用方程組解決實際問題的一般步驟是什么？
學生回答：審、設、找、列、解、驗、答。
教師提示：在這一過程中，有兩個關鍵步驟：一是利用相應的數量關系列方程組，二是解方程組。下面我們通過一道題來回顧一下方程組的解法。 1.解方程組 x + y = 170 ① 8 x = 9 y ②
師生活動：學生獨立解方程組，教師出示兩種解法答案，學生訂正答案。 設計意圖：復習方程組的解法，同時為后面課內探究1做準備。
2.今天我們將繼續學習列二元一次方程組解決實際問題——種植問題。種植問題與我們生活息息相關，下面我們通過一段視頻來了解一下種植問題中涉及的量及它們之間的數量關系。通過觀看視頻，使學生清楚：“總產量=單位面積產量×種植面積”這一相等關系。
3.教師引導學生根據“總產量=單位面積產量×種植面積”這一相等關系解決下面的問題： ⑴在面積為202
m和302
m的兩塊長方形的土地上，分別種植甲、乙兩種作物，甲的單位面積產量為22mkg，乙的單位面積產量為42
mkg，則甲種作物的總產量為 kg，乙種作物的總產量為 kg ，則甲、乙兩種作物的總產量比為 。
⑵在面積為202
m和302
m的兩塊長方形的土地上，分別種植甲、乙兩種作物，甲的單位面積產量為)22mkga（，乙的單位面積產量為)42mkga（，則甲種作物的總產量 為 kg，乙種作物的總產量為 kg，則甲、乙兩種作物的總產量比為 。 ⑶在面積為2:3的兩塊長方形的土地上，分別種植甲、乙兩種作物，其中甲的單位面積產量為22mkg，乙的單位面積產量為24mkg，則甲、乙兩種作物的總產量比為 。 師生活動：⑴⑵兩問由學生獨立思考完成，問題⑶，師生共同分析并解決問題。
設計意圖：通過三道小題，加深學生“總產量=單位面積產量×種植面積這一相等關系”的理解與運用。問題⑶中強調：見比設參數，在求比的運算中參數雖然被化簡掉了，但參數不可直接當成1。
（二）新知探究 課內探究1：
甲、乙兩種作物的單位面積產量的比是2：3，現有一塊面積為170平方米的土地，
要在這塊土地上種植這兩種作物，且使甲、乙兩種作物的總產量的比是3：4，甲、乙兩種作物的種植面積分別是多少？
師生活動：學生認真讀題，找出已知條件，分析題意后根據等量關系列出方程組，組內相互交流解決問題的過程，學生代表講解過程，教師對有困難的學生進行幫助。
設計意圖：由于探究2的情境比較復雜，題目中涉及的數量關系比較多，對于題目條件以比例形式出現時學生也無從下手，對問題中 “怎樣劃分土地”的題意理解都是本題的難點。基于任教學生的認知水平，為降低題目難度，先設計這個題目，將復雜的問題適當分解，用問題引導學生積極思考。
⑵追問：在問題⑴的條件下，該長方形土地的長為17米，寬為10米，現要將大長方形土地劃分成兩個小長方形，你將怎樣劃分土地？分割線的位置在哪里？劃分方法有幾種？ 師生活動：學生通過動手操作、小組合作，討論交流探索分割的方法，展示分割的結果，歸納結論：
①將一個大長方形分成兩個小長方形時，可以沿豎直方向和水平方向進行分割。 ②分割線的位置要通過計算確定，分面積問題等同于分邊長的問題。
設計意圖：教師提出問題，讓學生討論交流，通過多角度分析問題，多策略解決問題，提高學生思維的發散性。在此過程中學生可以逐步理解題意，并找到解決問題的方法，并為“探究2”的方案設計做鋪墊。
課內探究2：（教材99頁探究2）
據統計資料，甲、乙兩種作物的單位面積產量的比是1：2，現要在一塊長200 m．寬100 m的長方形土地，分為兩塊小長方形土地，分別種植這兩種作物，怎樣劃分這塊土地，使甲、乙兩種作物的總產量的比是3：4?
師生活動：教師提出問題，使學生從總體上先明確解決此問題要先解決什么問題，學生在明確思路的基礎上解答過程，請同學板演不同的方法，學生做完之后相互交流不同做法。教師對有困難的學生進行指導，結合板書簡要點評，學生及時訂正。
設計意圖：雖然在課內探究1中已經找到解決問題的思路，在學生完成課內探究1的基礎上，結合圖形就能順利列出方程，但能否徹底解決問題，還需要在計算、表達等多方面的進行規范解答，所以要求學生規范寫出過程，一方面可以檢查學生學習效果，另一方面通過對比不同解法，進一步深化學生思維。
（三）反思小結，梳理提升
通過本節課的學習，你有哪些收獲？ 師生活動：學生總結歸納，教師補充完善。
設計意圖：對課內兩道探究問題的思考，回顧學習過程，通過反思、總結、提煉，將所學到的知識納入自己的知識結構。
(四)當堂檢測
據統計資料，甲、乙兩種作物的單位面積產量分別為1:2，現要將一塊長100m，寬80m的長方形土地分成兩塊小長方形土地，分別種植這兩種作物,怎樣劃分這塊土地， 使甲、乙兩種作物的總產量的比是 2 : 1？ （五）布置作業：必做：書102頁4題
選做：學練卷拓展提高
（六）教學反思：
這一節課通過探究2這個開放性問題，讓學生體會一題多解的問題情境，學習從多個角度角度考慮問題，體會到建立二元一次方程組數學模型作用，為解決實際問題提供重要的策略。
本節課的重點是使學生在探究如何用二元一次方程組解決實際問題的過程中，進一步提高分析問題中的數量關系、設未知數、列方程組、解方程組、檢驗結果的合理性等能力，感受建立數學模型的作用。在教學中要發揮學生積極思考、勇于探索的精神，使學生學會學習、學會合作。教學活動中給學生留出一定時間進行的討論和展示，充分發揮學生的主體作用。
本節課要研究的探究2問題情境比較復雜，受閱讀能力，分析問題能力的制約，如何從實際背景中提取數學信息，并轉化為數學語言對初一的學生而言，存在較大的困難。學生讀不懂題，對探究2中的一些名詞（總產量、單位面積產量）不了解，總產量，單位面積產量，種植面積之間的關系是什么，學生也不清楚，多個比例條件令學生無從下手，對問題中 “怎樣劃分土地”的題意不理解，如何依據方程組的解，描述土地劃分方案，這些問題對于學生來說都是難點。
基于以上種種問題，我在設計這節課時候想到：“如果直接出示書上的探究2，學生一定會感到一頭霧水，無從下手。”因此我通過播放微視頻，讓學生明確種植問題中的數量關系是什么，通過三道小題，加深學生對這一數量關系的理解和運用，同時對比例條件的運用，給學生以指導和規范。
根據我所任教的學生的認知水平和學生能力，我設計了課內探究一，目的是為了將例題中的部分環節獨立出來，先解決輔助未知量分析數量關系的問題，這樣便于學生在解決探究二時就可以把注意力集中在方案設計問題上。由于在探究一兩個問題中，將數量關系問題、怎么劃分的問題都已經解決清楚，因此探究二就可以放手讓學生去解決。在呈現探究2的答案中，學生不僅從兩種劃分方式上進行解答，而且還選擇直接設未知數和間接設未知數的兩種方法進行解答，講解得也很清楚明白，令我非常驚喜。
從整節課上來看，我感覺：學生們比較投入，思維很活躍，對重點的內容也能夠很好的把握，較好地完成教學任務。這節課的教學設計與以往的教學相比，我感覺這節課的設計更易于學生接受。
本節課不足之處：
一、留給學生討論、分析、展示的時間不夠充分，課下有的孩子還有其它想法、做法沒有一一展示出來。
二、現代化信息手段運用的不夠充分熟練，如果利用好白板軟件，將圖形進行分割、拖拽，我想會更直觀一些，效果會更好一些。
三、由于第一次錄課比較緊張，很多地方做得不夠，沒有一一關注到問題學生。
視頻來源：優質課網 www.m.fsyixinda.com
