視頻標簽：三元一次方程組

所屬欄目：初中數學優質課視頻

視頻課題：人教版初中數學七年級下冊8.4三元一次方程組的解法（2）重慶市優課

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課    題：*8.4  三元一次方程組的解法 授課教師：重慶市天寶實驗學校 劉湘 
一、教材分析 
    前面學生已學習二元一次方程組的概念、解法和應用.在學習這些知識的過程中，學生可以感受到二元一次方程組和上學期所學一元一次方程都能作為一種工具來應用于實際問題的解決，也能深刻的體會解二元一次方程組中的“消元”思想.本節在此基礎上，拓展學生的視野，通過類比研究的方式引入三元一次方程組，讓學生進一步體會“消元”思想，掌握三元一次方程組的求解，為認識利用三元一次方程組這一數學模型解決問題打下基礎. 二、學情分析 
    學生總體情況比較均衡，上課認真，雖然思維不是很活躍，但有較好的理解能力和基礎.在上課前，學生已較熟練的掌握二元一次方程組的概念、解法和應用，對用方程（組）解決問題的建模思想有初步的認識. 三、教學目標 1．知識與技能： 
（1）了解三元一次方程組的概念; 
（2）會用“代入消元法”或“加減消元法”把三元一次方程組化為“二元”、進而化為“一元”方程來解決; 
（3）能根據三元一次方程組的具體形式選擇適當的解法. 2．過程與方法： 
（1）在學習二元一次方程組的基礎上，通過類比引入三元一次方程組的概念、解法、應用. （2）讓學生認識三元一次方程組的求解關鍵在于“消元”，進一步熟練掌握“代入”“加減”消元的方法 
（3）教會學生面對三元一次方程組時，選擇適當的解法，以提高運算的效率 3．情感態度與價值觀： 
（1）讓學生感受把新知轉化為已知、把不會的問題轉化為學過的問題、把難度大的問題轉化為難度較小的問題這一化歸思想，體會數學學習的方法. 
（2）讓學生認識解方程組的基本思想就是“消元”.無論是解二元一次方程組、還是三元一次方程組，基本策略都是化多為少、逐一解決，具體措施都是“代入”或“加減”，以實現“消元”，轉化為一元一次方程，從而得解. 四、教學重點、難點 
    根據以上分析，我將本節課的教學重點確定為：三元一次方程組的解法及“消元”思想. 
教學難點確定為：根據方程組的特點，選擇消哪個元，選擇用什么方法消元 五、教學方法和手段 
    現代教學理論認為，在教學過程中，學生是學習的主體，教師是學習的組織者，教學的
 
                    
             
                    
                             2 
一切活動都必須以強調學生的主動性、積極性為出發點。根據這一理念，結合本節課的內容特點和學生的年齡特點，本節課我采用啟發引導式、討論式及講練結合的教學方法，以提出問題、解決問題為主線，倡導學生主動參與、獨立思考、積極交流，在教師的指導下發現、分析、解決問題，給學生足夠的思考時間，讓學生去聯想、類比、探索并及時的反思，從真正意義上完成對知識的自我建構.另外，在教學中我采用多媒體輔助教學，以直觀呈現教學素材，從而更好地激發學生的學習興趣，增大教學容量，提高教學效率. 六、教學過程 
1.為下列方程組找出合適的消元方法（課前作業，平板數據分析） （1）                        （2）    
（3）                          （4） 學生活動設計：學生在課前利用平板上完成答題. 
教師活動設計：教師根據智慧課堂后臺的數據分析，對學生是解二元一次方程組時能否選擇合適的方法予以評價，對存在的問題進行糾正.  
 
一、復習舊知，引入新課 
師：上新課之前，我們先來復習一下前面學習的二元一次方程組： 問題1：舉例說明什么是二元一次方程組？ 生：如10216xyxy
，25
33
abab.含有兩個未知數，每個未知數的項的次數都是1，
并且一共有兩個整式方程，像這樣的方程組叫做二元一次方程組． 
問題2：解二元一次方程組的基本方法有哪幾種？它們的實質是什么？ 生：基本方法：代入消元法和加減消元法.   實質：消元 
師：大家來看屏幕上的這個題目，一起思考一下怎么解？ 
方程組一： ）
（）
（212
235

yxyx 生1：可以將（1）式變形為xy5，再代入到（2）式，轉化為一元一次方程
2)5(23xx，解出
138
yx. 
y＝x＋6   ① 2x＋3y＝8  ②  2x＋3y＝－19  ① x＋5y＝1      ②  2x＋5y＝12  ① 2x＋3y＝6   ②  
5x－5y＝7     ① 15x＋20y＝7   ②  
 
                    
             
                    
                             
3 
生2：也可以2)1()2(，轉化為一元一次方程8x，解出
13
8
yx. 
兩位學生分別用來代入法和加減消元法來解這道題目，但其實思想都是一樣的，就是把二元一次方程組通過消元的方法轉化為一元一次方程來解，即：  學生活動設計：在草稿紙上獨立完成解答.（拍照，上傳） 
教師活動設計：請兩位學生進行用不同方法解此題，復習二元一次方程的概念和解法.          
二、概念引入，揭示研究主題 
師：下面我們在方程組一中加入一個方程，得方程組二 
方程組二：）（）（）（3213-2-22235


zyxyxyx 
我們發現在方程組二中多了一個未知數z，那么我們可以怎么稱呼方程組二呢？ 
生：可以稱它為三元一次方程組，因為這個方程組中含有三個未知數，且含有未知數的項的系數都是一次. 
師：這就是我們今天要研究的主要內容—— *8.4 三元一次方程組的解法（板書標題，投影定義） 
學生活動設計：翻開書本朗讀三元一次方程組的概念，關注概念中的三個要點. 教師活動設計：引出本節課的要解決的問題——8.4 三元一次方程組的解法 
教師點明：三元一次方程組概念：（1）方程組中有且只有三個未知數；（2）含有未知數的項的次數都是1；（3）方程組中有三個整式方程.三者缺一不可. 
類似二元一次方程組的解的概念，三元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個三元一次方程組的解. 
 
練習：下列方程組中，不是三元一次方程組的是（   ） 
A． 3-22-21yzyyx   B. 

623104-2zyxxyx  C. 12322zxyx  D. 87959327
43zyxzyxzx 
 
三、類比學習，探索解法 
師：下面我們的主要任務就是學習如何去解三元一次方程組，先來看方程組二，根據它和方程組一的聯系，大家知道如何去求解它的解嗎？ 
初步嘗試：解方程組二：）（）（）（3213-2-22235


zyxyxyx 
二元一次方程組   消元    一元一次方程 
 
                    
             
                    
                             
4 
學生活動設計：獨立思考，獨立完成，并電腦隨機抽人回答問題. 
生：由（1）和（2）組成的二元一次方程組，我們已經解出
138yx，只需將13
8
yx代
入（3），即可得39z，綜上這個三元一次方程組的解是

39138zyx. 
教師活動設計：教師引導學生對比方程組一和方程組二的異同點，快速解決方程組二，體驗“消元”思想，把三元轉化為二元. 
師：這個三元一次方程組非常特殊，其中方程(1)(2)恰好可構成一個二元一次方程組.那如果碰到一個方程組里沒有包含二元一次方程組，怎么辦？（由此啟發學生在解三元一次方程組時，需要去“找出”隱藏在其中的二元一次方程組，為“消元”打下伏筆.）  
變式推進： 
師：我們把方程組二再來變一變： 
例1：解方程組三：）（）（）（3213-2-22235


zyxzyxyx. 
師：在這個方程組中就沒有一個現成的二元一次方程組了.那有沒有辦法“轉化出”一個二元一次方程組呢？ 
生：因為方程（1）是只含有x和y的一個二元一次方程，所以可以將（2）和（3）中的未知數z消去，也變成一個只含有x和y的一個二元一次方程（4），這樣方程（1）和（4）就可以組成一個二元一次方程組了.  
教師活動設計：教師板書，規范解題格式. 
解：由)4(5
432yx），得（）（ 
由（1）和（4）可組成一個新的二元一次方程組 

)
4(5
4)
1(5yxyx 由（4）—（1），得,003yy，解得 
,510xy），解得代入（把 
13,20253205zzyx解得），得代入（，把 


1305
zyx所以原方程組的解是. 
學生活動設計：學生獨立思考，體驗三元一次方程組的解題思路和方法技巧，和老師一起板書，規范書寫格式. 
 
                    
             
                    
                             5 
師：通過例1，類比解二元一次方程組的思想方法，我們可以得到解三元一次方程組的思想方法： 
 
（引出“消元”的思想） 
師生小結：我們要解決一個在已有知識，已有能力基礎上生成的更復雜的問題，要想到能否將其在“化歸”回我們已知的問題，化繁為簡，化未知為已知.在解方程組中，我們用的“化歸”方法是“消元”，我們以后也會在其他問題上遇到更多的諸如此類的“化歸”思想方法，同學們要善于從中積累.  
深入推進： 
師：我們把方程組三再來變一變： 
例2：解方程組四：）（）（）（3213-2-22235


zyxzyxzyx. 
師：這個方程組又該如何用消元法轉化為二元一次方程組呢？大家觀察這個方程組中各個未知數的系數，看看消哪個元最方便？ 
生：因為z前面的系數分別是-1,1,1，所以消z這個未知數最方便. 師：我們一起解…… 
解：由)4(73421yx），得（）（ 由)5(5
432yx），得（）（ 
（4）和（5）可組成一個新的二元一次方程組 

)
5(5
4)4(734yxyx 由（5）4—（4），得,11313yy，解得 
,151xy），解得代入（把 3111zyx），解得代入（，把 


311
zyx所以原方程組的解是. 
師：還有沒有別的消元方法？ 解法2：由)4(1
25)3()2(zx，得， 
由)5(7
4)3(2)1(zx，得 
由（4）和（5）可組成一個新的二元一次方程組 
三元一次方程組   消元   二元一次方程組   消元    一元一次方程 
                    
             
                    
                             6 

)
5(7
4)
4(125zxzx…… 解法3：由)4(13
34)3(2)1(zy，得 由)5(18
4)2(3)1(zy，得 
由（4）和（5）可組成一個新的二元一次方程組 

)
5(18
4)
4(1334zyzy…… 師：通過例2，我們發現在解三元一次方程組的過程中，關鍵就是如何選擇消元的對象和消元的方法，同學們要善于觀察系數的特點，選擇較簡單的消元方法，掌握技巧（強化“消元”的方法） 
四、鞏固練習，形成能力 
(1)“小試牛刀”：解三元一次方程組3472921xzxyzxyz

 
設計意圖：本題是在課本例1的基礎上，改變系數所得，因為本題的意圖是讓學生模仿老師的做法自行操作的第一題，所以盡量讓各項系數簡單一些，讓學生練習感覺愉悅一些. 預測學生做法：用加減消元由②③式消去y，轉化為關于x、z的二元一次方程組的求解 教師活動設計：觀察學生練習的過程，展示學生的求解過程 
(2) 在等式cbxaxy2
中，當1x時，0y；當2x時，3y；當5x時，
60y.求a、b、c的值. 
設計意圖：由課本例題引出三個方程均含有三個未知數的三元一次方程組，和學生一起探求
出解決的整體思路.然后讓學生自行求解，使其進一步理解三元一次方程組的求解方法，培養計算能力. 
教師提問：依題意可得什么？ 
預測學生做法：得出方程組042325560abcabcabc

 
教師活動設計：引導學生觀察方程組的特點，此方程組與前面不一樣，三個方程都不缺“誰”，消誰好，用什么方法消？ 
預測學生做法：消c，因為系數相同，用加減消元，要消兩次，由①②式消去c，再由②③式消去c，轉化為關于a、b的二元一次方程組 教師活動設計：提問用①③式消c行不行？ 
② ① ③ 
② ① ③ 
 
                    
             
                    
                             7 
預測學生做法：可以用①③式消c.在老師的引導下體會兩個未知數一般需要兩個方程才能求解，消兩次目的就是得到關于a、b的二元一次方程組，選擇①②或②③或①③中的其中兩個消就可以實現. 
教師活動設計：在前面例題和練習的基礎上，對本課解過的三個方程組進行比較，談談解決的方法.總結求解三元一次方程組的整體思路——消元，實現三元——二元——一元的轉化.在消元過程中，消“誰”都行，用哪種消法（代入法、加減法）也都可以，但如果選擇合適，可提高計算的效率. 具體做法是：①如果已有某個未知數的表達式，直接用代入消元，否則常用加減消元.②用加減消元時，如果方程組中有至少一個方程只有兩個未知數，缺哪個未知數就消哪個.③用加減消元時，如果方程組中三個方程均含有三個未知數，通常要進行兩次消元才能轉化為二元一次方程組. 
(3) 解三元一次方程組243332521xyzxyzxyz

. 
 
五、總結拓展，方法提升 (1)、三元一次方程組的概念 
(2)、三元一次方程組的基本思想是什么？用的什么方法？  
注意選好要消的“元”，選好要消的“法”. 
(3)、通過本堂課的學習，對大家在今后的學習生活中遇到新的問題，有什么樣的啟示？ 六、課后作業，鞏固所學  
教材106頁習題8.4第1（2）、2（2）、5題．

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