視頻標簽：直角三角形,邊角關系

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視頻課題：北師大版數學九年級下冊第一章《直角三角形的邊角關系--回顧與思考》河南省 - 平頂山

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北師版數學九年級下冊第一章 
《直角三角形的邊角關系--回顧與思考》 教學設計 
一、 學生狀況分析 
學生的知識技能基礎：學生在本章以前，已經掌握了直角三角形三邊之間的關系、三角之間的關系、以及有一銳角是30°的特殊直角三角形的邊角關系。而通過本章的學習，學生才更多的認識到一般直角三角形的邊角關系，掌握了特殊角（30°、45°、60°）的三角函數值，并能用三角函數將直角三角形的邊與角聯系起來，也能利用銳角三角函數知識解決簡單的實際問題。 
   學生活動經驗基礎：學生經歷了對特殊角三角函數值的探究及總結過程，嘗試了利用計算器進行一般角的度數與其對應的三角函數值的互換，也能把簡單的實際問題轉化為數學問題。因此，學生能熟練使用計算器，并具備了一定的探究能力和解決實際問題的能力。 
二、教學任務分析 
   本節是章末復習課，主要是讓學生復習并熟練一章知識點，并能站在新的高
度總結、梳理本章知識結構；能夠運用銳角三角函數解決簡單的實際問題。教學中繼續滲透“數形結合”、“數學建模”等思想，培養學生的創新意識、應用意識和應用能力。 
 由此，制定的教學目標是： 
1. 復習、梳理本章內容，進一步理解銳角三角函數的相關定義，理解各知識點之間的聯系及本章與已學相關章節的深層聯系。 
2. 熟練掌握特殊角的三角函數值，會運用銳角三角函數解直角三角形，解決與直角三角形有關的實際問題，增強應用能力。 
3. 經歷運用數形結合思想、數學建模思想解決實際問題的過程，提升學生數學  思維品質；經歷對知識梳理、知識結構重構的過程，加深對三角形的邊、角及圖形的理解，體會數學中的創新之美、模型之美。 
三、教學過程 
本節設計了六個教學環節：了解課標——復習概念——梳理知識——典型練習 
 
                    
             
                    
                            ——總結思路——暢談收獲 
環節（一） 了解課標 
   教師帶領學生一起了解《課程標準》中對本章的要求： 1.了解銳角三角函數的概念；  
2.掌握300，450，600角的三角函數值；  
3.會使用計算器求三角函數值，或由三角函數值求對應銳角；  
4.會用銳角三角函數解直角三角形，能用三角函數解決有關的簡單實際問題。 設計意圖：讓學生了解《課標》要求，對接下來的學習有的放矢。 
 
環節（二） 復習概念 
1.銳角三角函數的概念 
在Rt ΔABC中，∠C=90°，則正弦 sinA=      余弦 cosA=     正切 tanA= 
 
                                            
B 
2、直角三角形的邊角關系 
（1）三邊之間的關系： （2）兩銳角之間的關系：  （3）邊角之間的關系：    3、特殊角的三角函數值  
 
 
思考：銳角A的正弦值、余弦值有無變化范圍？ 4、實際生活中的應用： 
 
                    
             
                    
                            仰角、俯角、坡度、坡角、方位角 
設計意圖：回顧復習本章基礎概念，喚醒學生記憶，加深對概念的理解。 
 
環節（三）梳理章節結構 
 1. 同學們在小組內交流、完善自己的章節思維導圖（課前，學生梳理本章知識脈絡,初步繪制思維導圖或章節結構圖）。教師在班內巡視指導.  2.推選2個學生代表上臺展示,教師補充提升.  學生繪制的思維導圖舉例: 
 
 
 
 
                    
             
                    
                            設計意圖：學生通過自己動手畫思維導圖，對本章的知識進行再加工創造。通過利用思維導圖的放射性思維訓練，引導學生對知識點進行梳理、對考點進行歸納、對易錯點進行強調，在這個過程中，進一步鞏固本章知識，形成知識間的系統聯系，達到對本章乃至相關章節的知識重構，提高學生學習效率。提升學生思維品質。 
環節（四）典型練習 
１. 如圖，△ABC的三個頂點在正方形網格的格點上，則tan A的值是（  ） 
A 
56     B 65     C 3102    D 20
103   
  師生共同明確考查知識點和解答方法，即，求解三角函數需要構造直角三角形。 設計題圖：本題意在復習考察三角函數的概念。學生在求一個角的三角函數值時容易忽略“直角三角形”這一前提條件。通過典型例題為切入點，復習三角函數的概念，明確三角函數值是在直角三角形中定義的，但是三角函數值的大小只和角的大小有關，和它所在的三角形無關。 
2.變式：如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點D，tanA=5
6
,tan∠BCD=2, AC=30,求BD 的長。  
 
  (1) 首先學生獨立完成,教師在班內巡視，指導學生并及時發現學生做題過程中的問題。 
  (2) 挑選學生代表上臺講解分析. 
(3) 反饋學生做題中出現的現象，分析原因。 
設計意圖：在例1的圖形和數據基礎之上進行改編，從而復習考察解直角三角形這一知識點，實現一題多變，提高復習效率。教師提供機會，讓學生展示不同思路，體會數學中的創新之美。 
3.推廣：如果把∠A，∠BCD變成任意角，AC長不變，你還能求出BD嗎？ 學生動手計算：設∠A=α,∠BCD=β，AC=a，求BD。 設BD=x，則AD=
tanx，CD=
tanx
, B 
A 
C 
D 
B 
A 
C 
D 
 
                    
             
                    
                            由AD-CD=a,可列方程： 
 
tanx-
tanx
=a 
從中解出x的值。  
（1） 學生獨立完成 （2） 小組內交流不同方法。 
（3） 教師用PPT出示一份學生作業，引導學生規范書寫過程，并注意解決方
法的多樣性。 
 教師點撥：（1）解出x的值后，便可繼續求出圖中任何一條線段。 
          （2）利用三角函數求線段長度，常用輔助線做法是構造直角三角形。  設計意圖：通過這一活動，引導學生從特殊情形推廣到到一般情況，抽象出數學模型，歸納出一般方法，從而掌握解決這一類問題的技能，并為接下來的實際應用打下基礎。同時利用“獨立完成--小組交流--班內統一”的形式，在學生有充分體驗和思考的基礎上進行小范圍交流及班內匯總，著眼于學生主體地位，注重思維的多樣性和課堂實效。 
4.如圖所示，我國兩海監船A、B在南海海域巡航，某一時刻，兩船同時收到指令，立即前往救援遇險拋錨的漁船C.此時，B船在A船的正南方向5海里處，A船測得漁船C在其南偏東45°方向，B船測得漁船C在其南偏東53°方向.已知A船的航速為30海里/小時，B船的航速為25海里/小時，問C船至少要等待多長時間才能得到救援？ 
（參考數據：，，，） 
（1）選派一名學生演板，其他學生獨立完成，教師在教室內巡視并指導。 解：過點C作CD⊥AB交AB的延長線于點D，則∠CDA=90° 已知∠CAD=45°，設CD=x， 
在Rt△ADC中AD=45tanx
=x， 在Rt△BDC中，BD=53tanx
 
 
                    
             
                    
                            ∵BD=AD-AB=5x 
∴53tanx
=5x 
即x=53tan)5(x 
解得201
3
434
5153tan53tan5

x ∴255
4
2053sin
CDBC  
∵B船的航速為25海里/小時 ∴至少需要航行1小時。 
（2）教師帶領學生點評學生演板情況。 
（3）總結易錯點和注意事項。易錯點：計算出錯。注意事項：構造直角三角形，并恰當選擇三角函數。 
設計意圖：本題為2017河南中考19題，考察三角函數的實際應用。本題讓學生對總結的數學模型加以應用和鞏固。并且用中考題讓學生進行實際操練，對于九年級學生來說非常必要，也有針對性。另外，在多個情境中培養學生利用圖形解決問題，滲透數形結合思想和模型思想。 
5. 高低杠”是女子體操特有的一個競技項目，其比賽器材由高、低兩根平行杠及若干支架組成，運動員可根據自己的身高和習慣在規定范圍內調節高、低兩杠間的距離．某興趣小組根據高低杠器材的一種截面圖編制了如下數學問題。   如圖所示，底座上A，B兩點間的距離為90cm．低杠上點C到直線AB的距離CE的長為155cm，高杠上點D到直線AB的距離DF的長為234cm，已知低杠的支架AC與直線AB的夾角∠CAE為82.4°，高杠的支架BD與直線AB的夾角∠DBF為80.3°．求高、低杠間的水平距離CH的長．（結果精確到1cm） 
參考數據sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）

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